第十七章 实数
河北省南皮县张庄中学 谢淑霞
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学习课题
**平方根 第1课时 平方根
内容分析（复习课时才用）
本节内容主要是了解平方根的定义，会用根号表示数的平方根；了解开方与乘方互为逆运算，根据平方根的特点，会用平方运算求某些非负数的平方根；平方根是中考的基本考点之一，主要以填空题、选择题为主，有时渗透在计算题中考查，属于低档题．本节重点是理解平方根的定义和表示方法，掌握平方根的特点；难点是运用开平方运算．本节常见的易混点是将a与a有时混淆．对于任意正数，它的平方根有两个且互为相反数，在解答有关正数平方根的问题时，初学者往往忽略这一点．本节常见的易错点是在一个正数的平方根时漏掉一个平方根．求非负数的平方根运算时，要注意用根号表示正数的平方根时，根号前应带有±．
学习目标
1．了解数的平方根的概念，并会用符号表示；
2．理解平方与开方之间是互为逆运算的关系，会用平方运算求某些非负数的平方根．
学习重难点
重点：了解数的算术平方根及平方根的概念，会求某些非负数的平方根，会用根号表示一个数的平方根． 难点：如何理解a是非负数以及被开方数a是非负数；正确地运用开平方运算．
学习过程
一．学习准备
1.知识准备：①什么叫乘方?什么叫幂?
②计算32＝ ，(－3)2＝ ， (5)2＝ ， （-5）2＝ ．
③一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的 .就是说，如果x2=a,那么x就叫做a的 . ④(－4)2的平方根是 . 2. 情绪准备：如果已知一个数的平方等于36，怎样求这个数？
答案：1.①求相同因数的积的运算叫做乘方，运算的结果叫做幂.②9，9，25，25．③平方根(或二次方根) 平方根. ④±4
2.答案：我们可以设这个数为x，则x2＝36，问题归结为求x.这个问题可以通过乘方运算来解决.
二．阅读感知
本节内容安排了三个层次：
1．平方根的概念：乘方运算是已知底数和指数，求幂.如果已知一个数的平方等于16，怎样求这个数？
由问题我们可以设这个数为x，则x2=16，问题归结为求x．这个问题可以通过乘方运算来解决．从而得出结论：一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根(或二次方根)．这一阶段主要是让学生建立平方根的概念，并没有引入平方根的符号．
2．数的平方根的定义：如49的平方根是7与－7.因为(±7)2＝49,所以7与－7是49的平方根. 那么：(1)100的平方根是什么?
(2)49、100都是正数，它们有几个平方根?平方根之间有什么关系?
学生通过解决上面两问题可以得出结论：对于任意一个正数，它们都有两个平方根，这些数的两个平方根都分别是互为相反数.在感知正数的平方根的基础上，再提出问题(3)、(4)． (3)0的平方根是什么? (4)负数有平方根吗?为什么?
2
在学生讨论探究后得出结论：0的平方根是0，这是因为0=0.由于任何不为零的数的平方都不等于零，所以
零的平方根只有一个，它就是零本身.负数没有平方根.由于正数、零和负数的平方都不是负数，所以负数没有平方根.从而使学生能正确理解数的平方根的定义，这一阶段学生刚开始接触平方根，一定要注意正数有两个平方根，为下面的开平方运算做好铺垫．
3．开平方：根据实例提出问题：正方形画布的边长应取多少？师生共同探究后，得出下面的结论： 求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方.开平方运算是已知指数和幂求底数.值得注意的是：平方与开平方互为逆运算.在解决实际问题时，所得结果一定要符合实际。这一阶段，学生可以通过较多实例加以说明，在本节教学时，以达到强化的目的．
三．合作探究
1．平方根的概念
讨论：(1)什么样的运算是平方运算？
(2)你还记得1～20之间整数的平方吗？
(3)如果已知一个数的平方等于16，怎样求这个数？
自主探索：让学生独立看书，自学教材完成．
如果一个数的平方等于a，那么这个数就是a的平方根．用数学式子表示为若x2＝a，那么x是a的平方根． 下面我们通过举例探讨，一个正数、一个负数和零的平方根各有哪些特点？
举例： 72＝49， (－7)2＝49，所以7和－7都是49的平方根． 102＝100， (－10)2＝100，所以10和－10都是100的平方根．
接下来请同学们自己算一算：0的平方根是什么? 负数的平方根是什么?
通过计算，学生总结：0的平方根是0，这是因为02＝0.由于任何不为零的数的平方都不等于零，所以零的平方根只有一个，它就是零本身.负数没有平方根.由于正数、零和负数的平方都不是负数，所以负数没有平方根. 师生共同来概括数的平方根的定义：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根. 2．开平方与被开方数的概念
求一个数平方根的运算叫开平方．这个数叫被开方数．例如，要求64的平方根，就是把64开平方，64是被开方数，所得平方根8和－8可以简写成±8这里＂±\读作 正 负 ，它表示有正和负两个数．那么怎样表示一个非负数a的平方根呢？
师生总结：一般地，如果x2＝a(a≥0)，那么a的平方根可以表示为x＝±a.
在解决实际问题时，对于一个非负数a的平方根，也可以是±a？下面我们通过实际例子做一下探究． 为参加美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布作画，这块正方形画布的边长应取多少？
若设这块正方形画布的边长为xdm，则x2＝25，则x＝±25＝±5．由于正方形画布的边长不可能是负数，故x＝5．
师生共同小结：当
a＞0时，a的正的平方根用符号“a”表示，其中a叫做被开方数，2叫做根指数，a的
负的平方根用符号“－a”表示，这两个平方根合起来可以记作“±a”.这里符号“2”读作“二次根号”，a读作“二次根号a”.当根指数是2时，通常将这个2省略不写，记作a，读作“根号a”；±a记作±a，读作“正负根号a”.
需要注意的是：在解决实际问题时，要在实际问题有意义的情况小，确定某个数的平方根． 下面我们结合例题，求下列各数的平方根． 3． 例题分析
例1 求下列各数的平方根
4
（1）16： （2） （3）0.81 （4）0
49
2442
解：（1）∵(±4)2＝16， ∴16的平方根是±4． （2）∵(±)2＝， ∴的平方根是±．
749497
（3）∵(±0.9)2＝0.81， ∴0.81的平方根是±0.9．（4）∵02＝0，∴0的平方根是0． 通过计算你可以看出平方和开平方有什么关系？ 结论：平方与开平方互为逆运算．
师生共同总结： 因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根. 例2 －42有平方根吗?
解：因为－42=－16是负数，所以－42没有平方根.
四．练习巩固
1．下列运算过程，
①-8是-64的平方根；②-?64＝-(-8)＝8；
③?2??2??2；④±?64＝±(-8)＝ ±8 正确的个数：（ ）
A． 0个 B． 2个 C．3个 D． 4个
解：要求一个数的平方根或进行有关平方根的运算时，必须保证被开方数是非负数，否则，就没有什么意义。 ①②④的被开方数都是-64，是负数，所以，根本就没有意义，因此，也就无法进行运算； ③的被开方数是-2=-4，是负数，所以，根本就没有意义，因此，也就无法进行运算； 所以，上面的说法都是错误，即正确的个数为0.故正确答案为A.
2．若已知一个数的平方为下列各数，你能把这个数的取值说出来吗？
2
221
25， 0， ， 1.69
4
答：能；由于52＝25，(?5)2＝25，故平方为25的数为5或?5． 02＝0，故平方为0的数为0.
1111111
()2＝，(?)2＝，故平方为的数为或? ． 1.32＝1.69，(?1.3)2＝1.69，故平方为1.69的数是±1.3． 2424422
五．反思感悟
本课时设计通过学生的探究观察、分析、合作、交流等手段“做数学”，获得“做数学”的体验，并通过分析、归
纳、抽象，帮助学生逐渐形成自己的数学知识．本课时的最大的特点是：数学教学过程不是简单讲解和传授知识，也不是学生的简单模仿和机械记忆，而是让学生自己数学活动中去体验、感受数学，逐步认识、建构知识，从而更好地理解知识，归纳出知识的要点，让学生的认知结构得到不断的完善．这样做激发了学生的参与意识和好奇心，培养了学生的探索知识，善于总结规律的有效学习方法，使学生尝试到了由自主学习而获得新知的热情，从而大大提高了学生的学习积极性．
达标测评
一.选择题：
1.在四个数0，－9，2，(－3)2中，有平方根的是( ).
**与－9； B.0，－9和(－3)2； C.0与(－3)2； D.0，2和(－3)2.
2.数0.25的平方根是( ).
**； B.0.05； C.－0.5； D.±0.5
二.填空题：1.数0.0225的平方根是 ； 2.数(－2.2)2的平方根是 ；
三.写出下列各数的平方根. 49
121， 256， ， 361.
289
答案：一.1.D 2.D 二.1.±0.15 2.±2.2
三.∵(±11)2＝121， ∴121的平方根是±11． ∵(±16)2＝256， ∴256的平方根是±16． 749497
∵(±)2＝， ∴的平方根是±． ∵(±19)2＝361， ∴361的平方根是±19．
1728928917
资源链接
谁最先使用现在的平方根符号
公元1220年,意大利人里纳昂多第一次使用符号“(√)”表示开平方，这个符号是取拉丁文“Radix”的首尾两个字母合并得来的．里纳昂多是一个熟悉数学的商人，曾到东方旅行过．回到意大利以后，他把旅途中搜集到的许多算术和代数的材料写成《算盘之书》．
湘教版解读-第十七章实数
