数学教师数学知识的性质及对其大学数学教育的启迪?
方勤华
信阳师范学院 数学与信息科学学院，河南 信阳 464000
摘 要：关于数学教师数学知识的研究，已由对其应该具有的数学知识量的关注，转移到对其应该具有的数学知识性质的关注，而且教师数学学科知识与数学教学内容知识的关系成为讨论的主要线索。研究启迪培育教师的大学数学系：应该熟悉到教师需要的数学知识与数学家数学知识性质的不同，应该考虑为教师的数学预备建构专门的课程，应该注意组织数学教学的方式要知足教师未来中学数学教学的要求。 关键词：数学教师；数学知识；大学数学教育
在数学教育中，有许多话题反映教师数学知识对教好数学的重要这一强烈信念，“教师不可能教他（她）所不明白的”、“教师必需具有所教学科的知识。”的确，数学知识是教师有效教学所需要的各类技术的依托。但是，连年来，教师需要的数学知识的性质，始终是困惑教师教育者的重要问题。系统梳理关于教好数学所需数学知识的研究，将对职前教师教育计划、在职教师专业进展项目，和为教师预备数学，提供成心义的启迪。 1 教师数学知识的性质
在对有效教学的研究中，美国研究者率先在20世纪60 年代，将数学教师的数学知识作为调查变量，探讨教师的数学知识如何影响教学效率等问题。起初，他们往往把教师的数学知识，概念为成功完成大学水平的数学课程的数量、学科平均品级、乃至在标准化成绩考试中的得分。但是，研究并无取得一致的结论，教师的数学知识与学生的成绩不是线性的正比例关系。近些年来，中外很多学者都注意到了教师所需数学知识的特定性，并将其与数学家的数学知识进行了区分
[1-6]
。这使研究再也不利用相关技术，去测量教师知识的某种量度
与他们的学生成绩之间的彼此关系了，而是关注教学本身，围绕着教学需要的数学知识展开了一系列研究。如此，就出现了对教师需要的数学知识的多种理解。理解的不同，主要集中
基金项目： 河南省科技厅项目“基于新课程的高中数学教师数学专业素养研究（0068）”；信阳师范学院2009年度教学改革研究项目“职前数学教师有效教学研究（050943）”
作者简介：方勤华（1968-），女，河南潢川人，博士、副教授，主要从事数学课程与教学论研究
在“数学教学内容知识”是不是包括在数学知识当中，乃至出现了“为教学的数学知识
(mathematics knowledge for teaching)”。
数学学科知识包括数学教学内容知识
关于教师学科知识的理解中，匹兹堡大学研究组对教师学科知识的概念最为宽泛。如，该派研究者（见文献[7]）(P8)，把教师知识分为课堂结构知识和学科知识两大核心领域。其中，数学学科知识包括数学概念、进程、它们的彼此联系、对学生错误类型的理解和课程的表述。他们进一步把学科知识的功能解释为“选择例题、解释表达、示范的一种资源”。他们对“学科知识”的概念，包括文献[8]的“内容知识”和“教学内容知识”两个方面。
在他们后来关于教师学科知识的研究中，对学科知识的概念更为宽泛，“包括表征和呈现内容，以利于培育学生学习和建构成心义的理解；还包括学生（主如果小学生）带到学习情境中的知识，也就是增进或阻碍学生学习特定任务的知识” (P91)。如此，除“教学内容知识”外，“学生学习的知识”也被包括进来。
总之，该小组把教师的学科知识组成，看做是某一数学题材的知识与如何教该题材知识的混合物，而且，他们往往更注意后者。 数学学科知识与数学教学内容知识各自分开
斯坦福大学研究组，主要关注中学教师所教各科目的知识，其中，一些研究集中在“教数学的知识(knowledge for teaching mathematics)”方面。他们同意文献[8]对教师知识的分类，把学科知识和教学内容知识分开讨论。该派有研究代表，提供了一个教师教数学的知识模型，把“数学学科知识”看做“是数学知识，但与特定的教和学数学无关”；“一般教学知识”是“直接与教和学有关，但不考虑数学”；“数学教学知识”是“教和学数学的知识”
[7]
[9]
(P10)。
由于他的研究主要关注点在教学内容知识上，所以没有对学科知识做出清楚地解释。但
对教师的“学科知识”、“一般教学知识”和“教学内容知识”进行了区分。 数学学科知识与数学教学内容知识融为一体
密歇根州立大学研究组、指导教师数学知识研究中心的负责人
[10]
，解释了“为教学的
数学知识”的特点，并开发了一个概念框架。与把数学知识解组成各个成份相反，她和同事开始描述特定教学情境中可能需要或利用的数学知识。她们承认教学实践的复杂和丰硕，并强调数学教学对数学的高要求。她论述了美国教师数学知识的缺点，并举例说明，解决问题的办法不只是要求教师学习更多的大学数学课程。
在后来的文章中，她及合作者又指出，对专门化的数学知识性质的不透彻理解，将使
世界范围内改善教师教育质量的良好用意受挫。于是，她和她的研究团队
[11]
，提出了“为教
学的数学知识”的模型。该模型包括四部份内容：(1)一路的内容知识(common content knowledge)（学校课程中的数学知识，简称CCK）；(2)专门化的内容知识(specialized content knowledge)（教师在实践中利用的数学知识，可是超越了学校课程，简称SCK）；(3)内容和学生的知识(knowledge of content and students)（位于关于学生的知识和关于数学的知识的交叉点上，例如，对某一数学概念学生最多见误解的知识，简称KCS）；和(4)内容和教学的知识(knowledge of content and teaching)（位于关于教学和关于数学的知识的交叉部份，例如，形成一个足够的介绍某给定概念的顺序的知识，简称KCT）。前两个领域即教师的数学学科知识，后两个领域即通常所说的教学内容知识。该模型的建构，表现了数学学科知识与数学教学内容知识一体化的思想。
国内也有研究者研究。还有研究
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[12-13]
日渐注意到教学内容知识在教学中的重要，并对此做了系统的专门
通过对一节课的分析，说明有效的课堂教学是学科知识和学科教学知识（即
本文教学内容知识）二者的有机融合。
总之，对数学学科知识与数学教学内容知识关系的讨论说明，研究者已经发觉，教师数学知识的性质与纯粹的数学学科知识不同，它和数学教学内容知识有着不可分割的关系，但是一种独特的存在。
2 教师数学知识性质的讨论对教师数学教育的启迪
关于教师数学知识性质的不同理解，启迪为教师预备数学的大学本科数学教育，应注意以下几个方面的问题。
应该熟悉到教师数学知识与数学家知识的不同
“为教学的数学知识”的最初提出，源于对教师需要的数学知识与其在大学里所学数学专业知识的不同，即与数学家数学知识的不同。其实，德国学者 (P76)早就对“作为一门科学的数学知识(knowledge of the academic discipline)”与“学校数学知识(knowledge of school mathematics)”进行了区别。最近又有学者将作为一门科学的数学知识，称为学术数学知识(knowledge of academic mathematics)，即由专业数学家创造并组织的知识体系，对教师教育来讲，相当于大学数学里的数学知识；把学校数学知识称为与学校教学实践要求有关的数学知识。他们结合具体的数学内容研究，得出结论：学术数学不会“自然地”成为学校数学教学实践的有效工具，因为它的一些观念和组织数学对象的形式，与教学实践的要求相冲突；从学术上的数学知识转化为教学上的知识，需要“再情境化”的很多尽力。
因此，为教师预备数学知识的大学数学教育，第一应该熟悉到教师数学知识与数学家知
[6]
[1]
数学教师数学知识的性质及对其大学数学教育的启迪
