2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1. 已知△ABC，若对任意t?R，BA?tBC?AC，则△ABC一定为
A．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答案】 （ ）
22. 设logx(2x?x?1)?logx2 ?1，则x的取值范围为
A．?x?1 B．x?121（ ） ,且 x?1 C． x?1 D． 0?x?1 【答案】
25. 设f(x)?x3?log2x?x2?1，则对任意实数a,b，a?b?0是f(a)?f(b)?0的
A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 （ ） 6. 数码a1,a2,a3,L,a2006中有奇数个9的2020位十进制数2a1a2a3La2006的个数为 A．
??1200620061(10?8) B．(102006?82006) C．102006?82006 D．102006?82006 【答22案】（ ）
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7. 设f(x)?sinx?sinxcosx?cosx，则f(x)的值域是 。
8. 若对一切??R，复数z?(a?cos?)?(2a?sin?)i的模不超过2，则实数a的取值范围为 .
44x2y2??1的左右焦点分别为F1与F2，9. 已知椭圆点P在直线l：x?3y?8?23?0164上. 当?F1PF2取最大值时，比
PF1PF2的值为 .
10. 底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为
1cm的实心铁球，四个球两两相切，2其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注
3
水 cm. 11. 方程(x2006?1)(1?x2?x4?L?x2004)?2006x2005的实数解的个数为 .
12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4
次恰好取完所有红球的概率为 . 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
15. 设
f(x)?x2?a. 记f1(x)?f(x)，
fn(x)?f(fn?1(x))，n?2,3,L，
M?a?R对所有正整数 n， fn(0)?2. 证明：1??M???2, ?.
4??2020年全国高中数学联合竞赛加试试卷 （考试时间：上午10：00—12：00）
一、以B0和B1为焦点的椭圆与△AB0B1的边ABi交于Ci（i=0，1）。在AB0的延长线上任取点P0，以B0为圆心，B0P0为半径
作圆弧P0Q0交C1B0的延长线于Q0；以C1为圆心，C1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于P1；以B1为圆心，B1P1为半径作圆弧P1Q1交B1C0的延长线于Q1；以C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧Q1P′0，交AB0的延长线于P′0。试证：
（1）点P′0与点P0重合，且圆弧P0Q0与P0Q1相内切于P0；
??（2）四点P0、Q0、Q1、P1共圆。
一试参考答案
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分） 1.【答案】 （ C ）
【解析】令?ABC??，过A作AD?BC于D。由BA?tBC?AC，推出
uuur2uuuruuur2uuur2uuur2BA?2tBAgBC?tBC?ACuuuruuurBAgBC,令t?uuur2BC，代入上式，得
uuur2uuur2uuur2uuur2uuur22uuur222BA?2BAcos??cos?BA?AC，即 BAsin??AC, 也即
uuuruuuruuuruuur?BAsin??AC。从而有AD?AC。由此可得 ?ACB?。
2
3.【答案】 （ C ）
【解析】 5x?a?0?x?ab；6x?b?0?x?。要使A?B?N??2,3,4?，则56?b1??2??6?b?12?611，即。所以数对?a,b?共有C6C5?30。 ???20?a?25?4?a?5?5?
4.【答案】 （ A ）
【解析】建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１为ｚ轴，则F(t1,0,0)（0?t1?1），E(0,1,)，G(,0,1)，D(0,t2,0)（0?t2?1）。所以
uuuruuur11EF?(t1,?1,?)，GD?(?,t2,?1)。因为GD?EF，所以t1?2t2?1，由此推出
22uuuruuur2110?t2?。又DF?(t1,?t2,0)，DF?t12?t22?5t22?4t2?1?5(t2?)2?，
552r1uuu?DF?1。 从而有 51212
6、 【答案】（ B ）
【解析】出现奇数个9的十进制数个数有A?C200691200532005?C200692003?L?C20069。又由
于(9?1)2006??Ck?02006k200692006?k以及(9?1)2006k??C2006(?1)k92006?k，从而得 k?020061132005A?C200692005?C200692003?L?C20069?(102006?82006)。
2二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
?55?8.【答案】??, ?。
55??【解析】依题意，得z?2 ?(a?cos?)?(2a?sin?)?4
22?2a(cos??2sin?)?3?5a2??25asin(???)?3?5a2 （??arcsin1）（对任5意实数?成立）?25a?3?5a ?a?2?555?a, . 故 的取值范围为 ?? ?。
555??9. 【答案】3?1
【解析】 由平面几何知，要使?F1PF2最大，则过F1,F2，P三点的圆必定和直线l相切于P点。设直线l交x轴于A(?8?23,0)，则?APF1??AF2P，即?APF1:?AF2P，即
2PF1AP（1），又由圆幂定理，?PF2AF2，而FA(?8?23,0)，从而有AFAP?AF1?AF2（2）1?8，1(?23,0)，F2(23,0)，，（2）得AF2?8?43。代入（1）
PF1PF2?AF1AF2?8?4?23?3?1。
8?43
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(2)
