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不动点定理及其应用
作者：蒋亚军
来源：《中学教学参考·理科版》2012年第01期
一、引言
1912年，荷兰数学家布劳维证明，任意一个把维球体映入自己的连续映象（即拓扑变换）至少有一个不动点.这就是著名的拓扑不动点定理.我们知道，直线是一维空间，平面是二维空间，普通空间是三维空间，四维、五维及以上的空间就很抽象了，下面对一维球体做出一个有趣的例子
某学生进城，早晨六点从家里出发，下午六点到达.第二天沿原路返回，早晨六点离城，下午六点到达.他对老师谈这一上述经过时，老师告诉他：“你知道吗？途中有一个地点，你昨天进城和今天经过那个地方时，所用的时间完全相同.”学生说：“没有这么巧的事吧？我在路上走得时快时慢，有时还停下来休息、吃东西，两次经过某地的时间怎么会完全相同呢？”老师说：“不是不可能的，而是肯定有这一点，虽说我不知道它到底在哪里.”究竟谁是正确的呢？看起来，学生理由充足，振振有词，而老师既然“肯定”有这一点，又“知道”这点在哪里，似乎自相矛盾.其实，老师是正确的.道理很简单，设想进城和回家发生在同一天，学生离家出走，而学生的“替身”则同时离城回家（途中经过情况与学生回家完全相同）.那么两人必定路上相遇，进城和回家经过这相遇点的时间不是完全相同了吗？所以老师是正确的.这个有趣的问题给著名的“拓扑不动定理”提供了一个极其生动简明的例证
我们对上面一维球体的例证再用数学模型建立起来研究一下，直观化一些.设甲同学从家里往学校走，乙同学从学校往甲同学的家里走，所走的路线是一样的，而且两人出发的时间都是早上6点，那么他们在某一时刻一定会相遇，这一点就是上面提及的不动点.用个图形来简单的描绘一下： 甲同学→ ←乙同学 家 学校
理想化假设两人都是匀速行走的，那么设甲的速度为甲的家里的路程为s，则两人相遇的时间为t，从而得到式子了，这个不动点就肯定确定了，而且就是在距甲的家里处
，乙的速度为的点处或者距学校
，从学校到
的点
，一旦速度确定
上面谈到的学生进城路线便可以看成一维球体（拓扑学里的线不分曲、直）.如果进城经过A点与回家经过B点的时间相同，我们就说A点与B点对应，这种对应关系显然是把此线
不动点定理及其应用
