1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编
计数问题、概率与统计部分
2019A 5、在1,2,3,,10?中随机选出一个数a，在?1,?2,?3,,?10?中随机选出一个
数b，则a2?b被3整除的概率为 ．
◆答案：
37 1002★解析：首先数组?a,b?有10?10?100?种等概率的选法． 考虑其中使a?b被3整
除的选法数N．①若a被 3 整除，则b也被 3 整除．此时a,b各有3种选法，这样的?a,b?有
若a不被 3 整除，则a2?1?mod3?，从而b??1?mod3?．此时a有7 种3?3?9组．
选法，b有4种选法，这样的?a,b?有7?4?28组． 因此N?9?28?37．于是所求概率为
37。 1002019A 8、将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为
0），则产生的不同的8位数的个数为 ． ◆答案：498
★解析：将2,0,1,9,20,19的首位不为0的排列的全体记为A，记A为A的元素个数。
易知A?5?5!?600．将A中2的后一项是0，且1的后一项是9的排列的全体记为B ；A中2的后一项是0 ，但1的后一项不是9的排列的全体记为C；A中1的后一项是9，但2的后一项不是0 的排列的全体记为D．易知B?4!,B?C?5!，
B?D?4?4!,
即B?24,C?96,D?72．由B中排列产生的每个8位数，恰对应B中的2?2?4个排列（这样的排列中，20 可与“2, 0 ”互换，19可与“1, 9 ”互换）．类似地，由C 或 D 中排列产生的每个 8 位数，恰对应C 或 D 中的2个排列．因此满足条件的 8 位数的个数为
A\\?BC
D??BC?D3BC?D??A???600?18?48?36?498. 42422019B 5. 将5个数2,0,1,9,2019按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为
0），则产生的不同的8位数的个数为 ． ◆答案：95
★解析：易知2,0,1,9,2019的所有不以0 为开头的排列共有4?4!?96个．其中，除
了?2,0,1,9,2019?和?2019,2,0,1,9?这两种排列对应同一个数20192019，其余的数互不相等．因此满足条件的8位数的个数为96?1?95．
n?42019B 6. 设整数n?4，x?2y?1的展开式中x与xy两项的系数相等，则n的值
??n为 ． ◆答案：51
★解析：注意到x?2y?1????Cx?2nrnn?rr?0ny?1，其中xn?4项仅出现在求和指标
4?rr?4时的展开式Cx4nn?4?24y?1中，其xn?4项系数为??1?Cn；而xy项仅出现在n?1n?4求和指标r?n?1时的展开式C4n?12因此有??1?Cn?CnCn?1??1?4x2y?1??n?1n?12中，其xy项系数为CnCn?1??1?n?3n?3，
n?3，注意到n?4，化简得n?3???1??48，故只能
是n为奇数且n?3?48．解得n?51．
2018A 3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc?def是偶数的概率为 ◆答案：
9 10★解析：先考虑abc?def为奇数时，abc，def一奇一偶，①若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e,f为2,4,6的排列，这样共有6?6?36种；②若abc为偶数，由对称性得，也有6?6?36种，从而abc?def为奇数的概率为
72119?，故所求为1?? 6!101010
2018B 3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc?def是奇数的概率为
1 10★解析：由abc?def为奇数时，abc，def一奇一偶，①若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e,f为2,4,6的排列，这样共有6?6?36种；②若abc为偶数，由对称性得，
721?。 也有6?6?36种，从而abc?def为奇数的概率为
6!10◆答案：
2017A 6、在平面直角坐标系xOy中，点集K??(x,y)|x,y??1,0,1?，在K中随机取出三个点，则这三个点中存在两点距离为5的概率为 ◆答案：
4 73★解析：由题意得K有9个点，故从中取出三个点共有C9?84种。
将K中的点按右图标记为A1,A2,?,A8,O，其中有8对点之间的距 离为5，由对称性，考虑取A1,A4两点的情况，则余下的一个点有
。对每个Ai（i?1,2,?,8），K中恰有7种取法，这样有7?8?56个三点组（不考虑顺序）
Ai?3,Ai?5两点与之的距离为5（这里下标按模8可以理解），因而恰有?Ai,Ai?3,Ai?5?这8个
484三点组被计了两次，从而满足条件的三点组个数为56?8?48，进而所求的概率为 ?。
847
2017B 6、在平面直角坐标系xOy中，点集K??(x,y)|x,y??1,0,1?，在K中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过2的概率为 ◆答案：
3★解析：注意K中共有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数为C9?84种，
5 14当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况： （1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，
（2）三点是边长为1,1,2的等腰直角三角形的顶点，有4?4?16种情况，
（3）三点是边长为2,2,2的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(?1,0)，(0,?1)的各有一个，共有8种情况.
综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为6?16?8?30，进而所求概率为
305?. 8414
2016A 4、袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币，现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为 ◆答案：
9 35★解析：一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值a小于从B中取走的两张纸币的总面值b，从而a?b?5?5?10．故只能从A中国取走两张1元纸币，相应的取
2法数为C3?3．又此时b?a?2，即从B中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有
C72?C32?18种取法．因此，所求的概率为
3?18549??． 2210?2135C5?C7
2016B 5、将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子A,B,C,D,E中，恰有两个球放在同一盒子的概率为
◆答案：
12 25★解析：样本空间中有53?125个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为
6012C32?P52?60.过所求的概率为p??.
12525
2015A 5、在正方体中随机取3条棱，他们两两异面的概率为 ◆答案：
2 55★解析：设正方体为ABCD-EFGH，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有C12=220种．
下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB、AD、AE的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB，则AD方向只能取棱EH或棱FG，共2种可能．当AD方向取棱是EH或FG时，AE方向取棱分别只能是CG或DH．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为
382． ?22055
2015B 8、正2015边形A1A2???A2015内接于单位圆O，任取它的两个不同顶点Ai,Aj， 则OAi?OAj?1的概率为 671 1007★解析：因为|OAi|?|OAj|?1，所以
◆答案：
|OAi?OAj|2?|OAi|2?|OAj|2?2OAi?OAj?2(1?cos?OAi,OAj?)．
故OAi?OAj?1的充分必要条件是cos?OAi,OAj???超过
1，即向量OAi,OAj的夹角不22?．对任意给定的向量OAi，满足条件OAi?OAj?1的向量可的取法共有： 32??2015?1342671?2?OA?OA?1??2?1342种，故的概率是：． p??ij??2015?20141007?32015?1的概率在每对点之间连一条边，任意两2
2014A 8、设A,B,C,D是空间四个不共面的点，以
对点之间是否连边是相互独立的，则A,B可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为 ◆答案：
3 465★解析：每对点之间是否连边有2种可能，共有2?64种情况。考虑其中A，B可用折线连接的情况数。有AB边：共种2?32情况。
①无AB边，但有CD边：此时A，B可用折线连接当且仅当A与C，D中至少一点相连，且B与C，D中至少一点相连，这样的情况数为(2?1)(2?1)?9。
② 无AB边，也无CD边：此时AC，CB相连有2种情况，AD，DB相连也有2种情况，
但其中AC，CB，AD，DB均相连的情况重复计了一次，故A，B可用折线连接的情况数
为2?2?1?7。
以上三类情况数的总和为32+9+7=48，故A，B可用折线连接的概率为
222222483?。 644
2014B 7、将一副扑克牌中的大小王去掉，在剩下的52张牌中随机地抽取5张，其中至少有两张牌上的数字（或者字母J,Q,K,A）相同的概率是 （要求计算出这个概率的数值，精确到0.001） ◆答案： 0.4929
★解析：记所求事件为A，则A的对立事件A为“所抽取的5张牌上的数字各不相同”，我们来计算A的概率。事件A可以分解成两步：第一步在13个不同数字中抽取5个数字，共有C135种取法；第二步给每个数字涂一种花色每个数字共有4种花色可选，5个数字共有45种不同
555
的选择。所以事件A共包含4?C13。由于在52张牌随机抽取5张的基本事件个数为C52，
545?C13于是事件A发生的概率为?0.5071，从而P(A)?1?0.5071?0.4929。 5C52
2013A 6、从1,2,?,20中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻数的概率为 ◆答案：
232 323★解析：记所取的5个数分别为a1,a2,a3,a4,a5，且a1?a2?a3?a4?a5。
若这五个数互不相邻，则1?a1?a2?1?a3?2?a4?3?a5?4?16，由此可知，从
5，1,2,?,20中取5个互不相邻的数的取法和从1,2,?,16中取5个不同的数的取法相同即C1655C20?C16232故所求至少有两个数是相邻的概率为 ?5323C20
1,2,?,8?，均有2013A 8、已知数列?an?共有9项，其中a1?a0?1，且对每个i??ai?1?1???2,1,??则这样的数列的个数为 ai2??◆答案：491
aa1??1,2,?,8?，则bi??2,1,??b1b2?b8?9?1? ★解析：记i?1?bi，i??aia12??反之，若符合?的8项数列?bn?可以唯一确定一个符合题意条件的9项数列?an?。
111,2,?,8?中有偶数个?，记符合条件?的?bn?有N个，显然bii??即2k个?；继而有2k222k2k个2，8?4k个1，当给定k的值时，?bn?有C8C8?2k种，易得k只能取0,1,2，
所以这样的数列?bn?共有1?C8C6?C8C4?491.故所求的数列个数为491。
2013A三、（本题满分50分）一次考试共有m道试题，n个学生参加，其中m,n?2为给定的整数，每道题的得分规则是：若该题恰有x个学生没有答对，则每个答对该题的学生得x分，未答对的学生得0分.每个学生得总分为其m道题的得分总和.将所有的学生总分从高到低排列为P1?P2???Pn，求P1?P2的最大可能值。
2244★解析：对任意的k?1,2,?,m，设第k题没有答对的有xk人，则第k题没有答对的有n?xk人，由得分规则知，这n?xk在第k题均得到xk分，记这n个学生的得分之和为S，则
?Pi?S??xk(n?xk)?n?xk???xk?
2i?1i?1k?1k?1nmmm因为每一个人在第k题上至多得xk分，故p1?由于P1?P2???Pn，故有Pn??xk?1mk
p1?p2???pnS?P1?
n?1n?1S?P1n?2S?P?P??P?所以P 1n11n?1n?1n?1
1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编(9)二项式定理计数概率与统计
