第十八届“希望杯”全国数学邀请赛
初一第 2试
2007年4月15日上午8：30至10：30
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个
是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。
1、 假定未拧紧的水龙头每秒钟渗出2滴水，每滴水约0.05毫升，现有一个水龙头未拧紧，
4小时后，才被发现拧紧，在这段时间内，水龙头共滴水约（ ）（用科学记数法表示，结果保留两位有效数字） （A）1440毫升。 （B）1.4?10毫升。 （C）0.14?10毫升。 （D）14?10毫升。 2、 如图1，直线L与∠O的两边分别交于点A、B，则图中以O、A、B为端点的射线的条
数总和是（ ）。
（A）5． （B）6. （C）7. (D)8. 3、 整数a,b满足：ab≠O且a+b＝O，有以下判断：
1a,b之间没有正分数； ○2a,b之间没有负分数； ○
3a,b之间至多有一个整数； ○4a,b之间至少有一个整数 。 ○
其中，正确判断的个数为（ ）
（A）1． （B）2. (C)3. (D)4.
342xxxx????1的解是 x＝（ ） 315352005?20072006200720071003, （B）, (C), (D)（A） 20072006100320074、 方程
5、 如图2，边长为1的正六边形纸片是轴对称图形，它的对称轴的条数是（ ）。 （A）1. (B)3. (C)6. (D)9.
LAOB图1图2
26、 在9个数：－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3中，能使不等式－3x＜－14成立的数的个数是（ ）
（A）2. (B)3. (C)4. (D)5.
7、 韩老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图3（a）放置，然后又如图3（b）放置，
则图3（b）中四个底面正方形中的点数之和为（ ） （A）11. (B)13. (C)14. (D)16.
图3
8、 对于彼此互质的三个正整数a,b,c，有以下判断：
①a,b,c均为奇数 ②a,b,c中必有一个偶数 ③a,b,c没有公因数 ④a,b,c必有公因数 其中，不正确的判断的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
9、 将棱长为1厘米的42个立方体积木拼在一起，构成一个实心的长方体。如果长方体底
面的周长为18厘米，那么这个长方体的高是（ ）
（A）2厘米 （B）3厘米 （C）6厘米 （D）7厘米 10、 If 0?c?b?a,then ( )
b?abb?aa?caa?c???? (B) c?acc?ab?cbb?cb?abb?aa?caa?c????(C) (D) c?acc?ab?cbb?c(A)
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11、 12、
若有理数m,n,p满足
|m||n||p|2mnp???1，则? mnp|3mnp|今天（2007年4月15日，星期日）是第18届“希望杯”全国数学邀请赛举行第2
4试的日子，那么几天以后的第2007?15天是星期
13、 孔子诞生在公元前551年9月28日，则2007年9月28日是孔子诞辰 周年。（注：不存在公元0年） 14、 In Fig。4，ABCD is a rectangle.，The area of the shaded rectangle is
A6D8EFCBH5G图48
15、 分数 人数 下表是某中学初一（5）班2007年第一学期期末考试数学成绩统计表： 40------59 5 60-------70 19 71-------85 12 86------100 14 这个班数学成绩的平均分不低于 分，不高于 分。（精确到0.1） 16、
已知7x?yz6?41808，其中x,y,z代表非0数字，那么x?y?z?
222 - 2 -
17、 某城市有一百万户居民，每户用水量定额为月平均5吨，由于6，7，8月天热，每
户每月多用水1吨，为了不超过全年用水定额，则全年的其它月份每户的用水量应控制在每月平均 吨之内。如果每户每天节约用水2千克，则全市一年（按365天计）节约的水量约占全年用水定额的 %（保留三位有效数字） 18、
a,b,c都是质数，且满足a?b?c?abc?99，则|111111?|?|?|?|?|? abbcca19、 一项机械加工作业，用4台A型车床，5天可以完成：用4台A型车床和2台B
型车床，3天可以完成；用3台B型车床和9台C型车床，2天可以完成。若A型、B型和C型车床各一台一起工作6天后，只余下一台A型车床继续工作，则再用 天就可以完成这项作业 20、
设0?a?1,?a?b??1，则
1111,,和2四个式子中，值最大的是 2aa?ba?ba?b值最小的是
三、解答题（本大题共3小题，共40分） 要求：写出推算过程。 21、 （本题满分10分）
小明在平面上标出了2007个点并画了一条直线L，他发现：这2007个点中的每一点关于直线L的对称点，仍在这2007个点中，请你说明：这2007个点中至少有1个点在直线L上。 22、 （本题满分15分）
小明和哥哥在环形跑道上练习长跑。他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次。现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小明，并且比小明多跑了20圈，求：
（1） 哥哥速度是小明速度的多少倍？ （2） 哥哥追上小明时，小明跑了多少圈？ 23、 （本题满分15分）
满足1＋3n≤2007，且使得1＋5n是完全平方数的正整数n共有多少个？
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答案：
一、选择题（每小题4分。） 题号 答案 题号 答案 1 B 11 2 D 12 三 3 A 13 2557 4 C 14 18 5 C 15 6 C 16 7 D 17 8 C 18 9 B 19 10 D 20 二、填空题（每小题4分；两个空的小题，每个空2分。） ?2 367；9； 80；9 98 24；1.22 317 2 1911; aa?b
三．解答题
21．假设这2007个点都不在直线L上，由于其中每个点Ai（i＝1，2，……，2007）关于直线L的对称点A'i仍在这2007个点中，所以A'i不在直线L上。
也就是说，不在直线L上点Ai（i＝1，2，……，2007）与Ai关于直线L对称的点A'i成对出现，即平面上标出的点的总数应是偶数个，与点的总数2007相矛盾！ 因此，“这2007个点都不在直线L上”的假设不能成立，即这2007个点中至少有1个点在直线L上。
22．设哥哥的速度是V1米/秒，小明的速度是V2米/秒。环形跑道长s米。 （1）由“经过25分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑了20圈”，知 经过
25分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑了1圈。所以 2025(V1?V2)?25?(V1?V2)??60
20整理，得，100v2?50v1 所以， V1?2V2. (2)根据题意，得
?S1?V1V2?25???V?V??SS25?12即?解得， ?VV1S25???60?1?2????SS75?V1?V220V21?故经过了25分钟小明跑了 S75V225?60?25?60??20(圈) S75（2）另解 由V1?2V2，知小明每跑1圈，哥哥就比小明多跑1圈，所以当哥哥比小明多跑20圈时，小明也跑了20圈。
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23．由条件1＋3n≤2007得
n≤668,n是正整数。
设1＋5n＝m（m是正整数），则
2m2?1n?，这是正整数。
5故可设m＋1＝5k，或m-1=5k（k是正整数）
m2?11当m+1=5k是，?5k2?2k?5k2?668，由 ○
55k2?668，得，k≤11
当k=12时，5k?2k?696＞668。
所以，此时有11个满足题意的正整数n使1＋5n是完全平方数；
2m2?12当m－1＝5k时，n??5k2?2k， ○
5又5k?2k＜5k?2k，且当k＝11时5k?2k?627＜668，
所以，此时有11个满足题意的正整数n使1＋5n是完全平方数。
因此，满足1＋3n≤2007且使1＋5n使完全平方数的正整数n共有22个。
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2007年第18届希望杯全国数学竞赛初一决赛试题与答案
