2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷2
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知曲线??(??)=??????????+3??在点(0,??(0))处的切线与直线????+4??+1=0垂直，则实数a的值
为( ) A. ?4 B. ?1 C. 1 D. 4
2
2. 已知各项不为0的等差数列{????}满足??5?2??7+2??8=0，数列{????}是等比数列且??7=??7，则
??2??12等于( )
A. 9
4
B. 2
3
C. 4
9
D. 3
2
3. 对于函数??(??)，若存在区间??=[??,??]使得{??|??=??(??),??∈??}=??则称函数??(??)为“同域函数”，
区间A为函数??(??)的一个“同城区间”.给出下列四个函数：
①??(??)=cos??；②??(??)=??2?1；③??(??)=|??2?1|；④??(??)=log2(???1)．
2存在“同域区间”的“同域函数”的序号是( )
??
A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①②④
4. 设??为两个非零向量??? ,? ??的夹角，已知对任意实数t，|? ??+????? |的最小值为1，则( )
? |确定，则 ??唯一确定 A. 若|??B. 若|? ??|确定，则??唯一确定
? |唯一确定 C. 若??确定，则|??D. 若??确定，则|? ??|唯一确定
PM与PN是圆C：5. 已知点??(??,??)是直线??=2√2???4上一动点，??2+(???1)2=1的两条切线，
M，N为切点，则四边形PMCN的面积的最小值为( )
A. 3
4
B. 3
2
C. 3
??
5
D. 6
5
6. 已知函数??(??)=????????(????+??)(??>0,??>0,0
象如图所示，则??(4)=( )
2 A. ?√2
3??
B. ?2 C. ?1
2 D. √2
1
1
7. 已知函数??(??)=|2?4????????????????|，若??(?????)=???(??+??)恒成立，则实数a的最小正值为( )
A. 2?? B. ??
C. 2
1
??
??
D. 4
??
8. 设????为数列{????}的前n项和，??1=1，????+1=2????，则数列{??}的前20项和为( )
A. 2?2×319
31
B. 4?4×319
71
C. 2?2×318
31
D. 4?4×318
71
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9. 椭圆
??2??2
+
??2??2
=1(??>??>0)的左右焦点分别是??1、??2，以??2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭
圆交于点P，若直线????1恰好与圆??2相切于点P，则椭圆的离心率为( )
A. √3?1
B. √3+122 C. √2 D. √5?12
5??6
10. 已知函数??(??)=???????????√3????????的图象的一条对称轴为直线??=
|??1+??2|的最小值为( )
，且??(??1)???(??2)=?4，则
A. ?3
??
B. 0
1
C. 3
??
D. 3
2??
11. 若函数??(??)=????(???3)?3????3+????2只有一个极值点，则k的取值范围为( )
A. (?∞,??)
12. 双曲线
??2??2
??2
B. [0,??] C. (?∞,2) D. (0,2]
B两点，??2，过??1的直线交曲线左支于A，???2=1(??>0,??>0)的左右焦点分别为??1，
△??2????是以A为直角顶点的直角三角形，且∠????2??=30°.若该双曲线的离心率为e，则??2=( )
A. 11+4√3 B. 13+5√3 C. 16?6√3 D. 19?10√3 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
? ，? ? |=1，|? 13. 已知向量????，|????|=2，且|2??? +? ??|=√10，则??? ?? ??=______．
B两点，14. 已知抛物线E：??2=12??的焦点为F，准线为，过F的直线m与E交于A，过A作????⊥??，
垂足为M，AM的中点为N，若????⊥????，则|????|=______
15. 已知函数??(??)=(??2?2??)?????1，若当??>1时，??(??)?????+??+??≤0有解，则m的取值范围
为______．
16. 数列{????}为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出??1=1，接着复制
该项后，再添加其后继数2，于是??2=1，??3=2，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是??4=1，??5=1，??6=2，??7=3，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则??2019=______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，
计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠??????=??． (1)当??=60??时，求绿化面积；
(2)试求地块的绿化面积??(??)的取值范围．
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18. 已知等差数列{????}前n项和????，等比数列{????}前n项和为????，??1=1，??1=1，??2+??2=4．
(1)若??3+??3=7，求数列{????}的通项公式； (2)若??3=13，求??5．
19. 已知圆D：(???2)2+(???1)2=1，点A在抛物线C：??2=4??上，O为坐标原点，直线OA与
圆D有公共点．
(1)求点A横坐标的取值范围．
(2)如图，当直线OA过圆心D时，过点A作抛物线的切线交y轴于点B，过点B引直线l交抛物线C于P，Q两点，过点P作x轴的垂线分别与直线OA，OQ交于M，N，求证：M为，PN
的中点．
20. 已知等差数列{????}的公差??∈(0,??]，数列{????}满足????=sin(????)，集合??={??|??=????,??∈???}.
(1)若??1=0，??=
??
2??3
，求集合S；
(2)若??1=2，求d使得集合S恰有两个元素；
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(3)若集合S恰有三个元素，????+??=????，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{????}的通项公式及集合S．
21. 已知函数??(??)=(???1)ln ??，??(??)=???ln???e．
(Ⅰ)求函数??(??)的单调区间；
(Ⅱ)令?(??)=????(??)+??(??)(??>0)两个零点??1，??2(??1??2+e．
1
3
??22的离心率为√，且过定点??(1,√). 22. 已知椭圆C：??+=1(??>??>0)22????22
2
2
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l：??=?????3(??∈??)与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标和△??????的面积的最大值，若不存在，
说明理由．
1
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-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析： 【分析】
本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件，化简运算能力，属于基础题． 求得??(??)的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a的方程，解方程可得所求值． 【解答】
解：??(??)=??????????+3??的导数为??′(??)=???????????????????+3， 可得在点(0,??(0))处的切线斜率为??????0?0+3=4， 由切线与直线????+4??+1=0垂直，可得?4=?4， 即??=1． 故选：C． 2.答案：C
??
1
2
解析：解：由??5?2??7+2??8=0，
2
得??5+2??8=2??7，
2
即3(??1+6??)=2??7，
2
即3??7=2??7，
∵??7≠0，∴??7=2=??7，
2
=4． 则??2??12=??7
9
3
故选：C．
22
由条件利用等差数列的性质可得3??7=2??7，求得 ??7 的值，再根据??2??12=??7计算． 本题考查等差数列、等比数列的性质，求出??7=7是解题的关键，属于中档题． 3.答案：B
解析：解：对于函数①??(??)=cos
????2
，当??∈[0,1]，则有??(??)∈[0,1]，符合题意；
对于函数②??(??)=??2?1，当??∈[?1,0]时，则有??(??)∈[?1,0]，符合题意； 对于函数③??(??)=∣??2?1∣，当??∈[0,1]时，则有??(??)∈[0,1]，符合题意； 由选项可知，应选B， 故选：B．
解题思路：对于每一个选项找到其“同域区间”就判定为“同域函数”.逐项寻找就可以了！ 这是一道信息题，理解“同域区间”的概念，结合函数的图象就可以很快进行判断了！ 4.答案：D
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2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷2（含答案解析）
