第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系
一、匀速直线运动的位移
1.做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x＝vt。
2．做匀速直线运动的物体，其v-t图象是一条平行于时间轴的直线，其位移在数值上等于v-t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积。如图所示。
1．当“面积”在t轴上方时，位移取正值，这表示物体的位移与规定的正方向相同． 2．当“面积”在t轴下方时，位移取负值，这表示物体的位移与规定的正方向相反． 二、匀变速直线运动的位移 1．微分与极限思想的应用
在匀变速直线运动中，由加速度的定义易得速度的变化量Δv＝a·Δt，只要时间足够短，速度的变化量就非常小，在非常短的时间内，我们就可以用熟悉的匀速直线运动的位移公式近似计算匀变速直线运动的位移。
如图所示，甲图中与Δt对应的每个小矩形的面积就可以看做Δt时间内的位移。如果把每一小段Δt内的运动看做匀速直线运动，则各小矩形面积之和等于各段Δt时间内做匀速直线运动的位移之和。时间Δt越短，速度变化量Δv就越小，我们这样计算的误差也就越小。当Δt→0时，各矩形面积之和趋近于v-t图象与时间轴所围成的面积。
?v0＋v?·t
由梯形面积公式得x＝
2在任何运动中都有x＝v·t
v0＋v因此v＝(适用匀变速直线运动)
2?v0＋v?·t
把v＝v0＋at代入x＝
21
得x＝v0t＋at2
2
2．公式的矢量性
公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向，若物体做匀加速直线运动，a与v0同向，a取正值。若物体做匀减速直线运动，a与v0反向，a取负值，若位移的计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相同。若位移的计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相反。
3．公式的适用条件
公式适用于匀变速直线运动。 4．公式的特殊形式
(1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)。
1
(2)当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)。
2【典例精析】
例1.（2019·合肥高一检测）一物体做匀加速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为a＝0.5 m/s2，求：
(1)物体在3 s内的位移大小； (2)物体在第3 s内的位移大小。 答案:(1)17.25 m (2)6.25 m
解析：(1)用位移公式求解，3 s内物体的位移： 112x3＝v0t3＋at23＝5×3 m＋×0.5×3 m＝17.25 m。 22(2)同理2 s内物体的位移：
112x2＝v0t2＋at22＝5×2 m＋×0.5×2 m＝11 m 22因此，第3 s内的位移
x＝x3－x2＝17.25 m－11 m＝6.25 m。
【变式训练】某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为x＝0.5t＋t2(m)，则当物体速度为3 m/s时，物体已运动的时间为( ) A．1.25 s B．2.5 s C．3 s D．6 s 答案：A
解析：由x＝0.5t＋t2知，v0＝0.5 m/s ,a＝2 m/s2，再由速度公式vt＝v0＋at知，t＝1.25 s，选项A正确．
三．位移—时间图象
(1)匀速直线运动的x-t图象如图甲所示是一条倾斜的直线。 (2)匀变速直线运动的x-t图象：v0＝0时如图乙。
2．对x-t图象的几点说明 位移大小 方向 速度大小 方向 起始位置 初、末位置的纵坐标差的绝对值 初、末位置的纵坐标差的符号，正值表示位移沿正方向；负值表示位移沿负方向 斜率的绝对值 斜率的符号，斜率为正值，表示物体向正方向运动；斜率为负值，表示物体向负方向运动 图线起点纵坐标 运动开始时刻 图线起点横坐标 两图线交点含义 表示两物体在同一位置(相遇) 注意：(1)位移—时间图象不是物体的运动轨迹。 (2)位移—时间图象只能描述直线运动，不能描述曲线运动。 【典例精析】
例2(多选)如图是甲、乙两个物体在同一直线上运动时的位移—时间图象，由图象可知( )
A．乙开始运动时，两物体相距20 m
B．在0～10 s这段时间内，两物体间的距离逐渐增大 C．在10～25 s这段时间内，两物体间的距离逐渐减小 D．两物体在10 s时相距最远，在25 s时相遇 答案：BCD
解析：由图象可知，开始计时时，甲、乙相距20 m，乙在10 s时开始运动，此时两物体间的距离已超过20 m，A错误。在0～10 s这段时间内，两物体纵坐标的差值逐渐增大，说明两物体间的距离逐渐增大，B正确；在10～25 s这段时间内，两物体纵坐标的差值越来越小，说明两物体间的距离逐渐减小，C正确；由以上分析知两物体在10 s时相距最远，在25 s时，两图线相交，两物体纵坐标相等，说明它们到达同一位置，即相遇。D正确。 四、匀变速直线运动的速度与位移关系式
1．推导：物体以加速度a做匀变速直线运动时，设其初速度为v0，末速度为v，则由
速度公式：v＝v0＋at 1
位移公式：x＝v0t＋at2.
2
消去时间t得位移与速度的关系式为v2－v20＝2ax. 2．匀变速直线运动的位移速度公式：v2－v20＝2ax，此式是矢量式，应用解题时一定要先选定正方向，并注意各量的符号．
若v0方向为正方向，则：
(1)物体做加速运动时，加速度a取正值；做减速运动时，加速度a取负值． (2)位移x>0说明物体通过的位移方向与初速度方向相同，x<0说明物体通过的位移方向与初速度方向相反．
3．公式特点：该公式不涉及时间． 4．两种特殊情况
(1)当v0＝0时，v2＝2ax.（物体做初速度为零的匀加速直线运动，如自由下落问题(下面要学习） (2)当v＝0时，－v20＝2ax.（物体做匀减速直线运动直到静止，如刹车问题） 【典例精析】
例3（2019·云浮高一检测）已知长为L的光滑斜面，物体从斜面顶端由静止开始以恒定的加速1
度下滑，当物体的速度是到达斜面底端速度的时，它沿斜面已下滑的距离是( )
3
L
A. 3C.
3L 3
LB. 9LD. 6
答案：B
v
解答：若物体到达底端时的速度为v，对于整个下滑过程有v2－0＝2aL，若当物体速度为时，
3vL
下滑的距离为L′，则有?3?2－0＝2aL′，由以上两式可得，L′＝，B正确。
9??
【变式训练】A、B、C三点在同一条直线上，一物体从A点由静止开始做匀加速直线运动，经过B点的速度是v，到C点的速度是3v，则xAB∶xBC等于( )
A．1∶8 B．1∶6 C．1∶5 D．1∶3 答案：A
22
解析：由公式v2－v20＝2ax，得v＝2axAB，(3v)＝2a(xAB＋xBC)，联立两式可得xAB∶xBC＝1∶8.
刹车问题分析 【典例精析】
例4.一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求： (1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离；
(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离． 答案：(1)30 m (2)40 m
解析：汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5 m/s2；汽车运动的总时间tv－v00－20 m/s＝＝＝4 s.
a－5 m/s2
(1)因为t1＝2 s 212(2)因为t2＝5 s>t，所以汽车5 s时早已停止运动 11 故x2＝v0t＋at2＝(20×4－×5×42) m＝40 m. 22逆向思维法解题 在处理末速度为零的匀减速直线运动时，为了方便解题，可以采用逆向思维法，将该运动对称地看做逆向的加速度大小相等的初速度为零的匀加速直线运动． 【典例精析】 例5.物体做匀减速直线运动，初速度为10 m/s，加速度大小为1m/s2，则物体在停止运动前1 s内的平均速度为( ) A．5.5 m/s C．1 m/s 答案:D 0－10 m/s 解析:物体减速时间t0＝＝10 s －1 m/s2 该匀减速直线运动的逆运动为：初速度为零、加速度为a′＝1 m/s2的匀加速直线运动，则原运动物体11 停止运动前1 s内的位移与逆运动第1 s内的位移相等．由x＝a′t2＝×1×12 m＝0.5 m，故物体 22x 停止运动前1 s内的平均速度v＝＝0.5 m/s，选项D正确． t【自我检测】 1 1．（2019年福建省漳平市二中测试）根据匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2和x＝vt，关于 2做匀加速直线运动的物体在t秒内的位移，下列说法正确的是( ) A．加速度大的物体位移大 B．初速度大的物体位移大 C．末速度大的物体位移大 D．平均速度大的物体位移大 答案:D 解析:由x＝vt知，t一定时平均速度大的物体位移大，选项D正确． 2．（2019年北京市通州区联考）一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t内通过的位移为x， B．5 m/s D．0.5 m/s
3 匀变速直线运动的位移与时间的关系—人教版(2019)高中物理必修第一册初升高衔接预习讲义(第二章)
