四川省自贡市初2024届毕业生学业考试数学试题
一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. ?2024的倒数是 （ ）
考点：三视图之俯视图.
分析：几何体的俯视图是从上面往下面看几何体得到的平面图形，要注意看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线；C符合这一要求.故选C.
A.?2024 B.?12024 C.12024 D.2024 考点：倒数.
分析：1除以一个不 等于0的数的商就是这个数的倒数；实际上抓住互为倒数的两个数乘积为1就行了. ?2024的倒数?12024 .故选B. 2.近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片.现在中
国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为 （ ） A.2.3?104 B.23?103 C.2.3?103 D.0.23?105 考点：科学记数法.
分析：把一个数A 记成a?10n的形式（其中a是整数为1位的数，n恰好为原数的整数的
位数减1 ）.就为科学记数法，23000?2.3?104 .故选A. 3.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ ）
ABCD考点：轴对称图形、中心对称图形. 分析：轴对称图形、中心对称图形都是指的一个图形，只是运动方式不一样；轴对称图形是沿某直线翻折与自身重合，中心对称图形是绕着一个点旋转180°后与自身重合，D选择支符
合这一特点.故选D. 4.在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩的方差是3，下列说法正确的是 （ ） A.甲的成绩比乙的成绩稳定 B.乙的成绩比甲的成绩稳定 C.甲、乙两人的成绩一样稳定 D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
考点：方差的性质. 分析：在同样条件下，样本数据的方差越大，波动越大；方差越小，波动越小，B选择支符合
这一性质.故选B.
5.下图是水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是 （ ） 第
ABCD5题图6.已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为 （ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 考点：三角形三边之间的关系.
分析：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；所以4?1?第三边?4?1 ，即3?第三边?5；第三边取整数为4，4?4?1?9 .故选C.
7.实数m,n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是 （ ） A. m?1 B. 1?m?1 C. mn?0 D. m?1?0 m考点：数轴上点的坐标的意义，实数的运算.
01n分析：∵m?0 ∴1?m?1；也可以用“赋值法” 代入计算判断.故选B.
8.关于x的一元二次方程x2?2x?m?0 无实数根，则实数m的取值范围是 （ ）
A. m?1 B. m?1 C. m?1 D. m?1 考点：一元二次方程跟的判别式、解不等式.
分析：∵原一元二次方程无实数根，∴△=??2?2?4?1?m?0 ，解得m?1；故选D. 9.如一次函数y?ax?b与反比例函数y?cx 的图像如图所示，则二次函数y?ax2?bx?c的大致图象是 y（ ） yyyy OxOxOxOxOx
ABCD第9题图考点：一次函数、二次函数以及反比例函数的图象及其性质. 分析：根据本题的原图并结合一次函数和反比例函数图象的位置可知a?0,b?0,c?0，所以对于二次函数y?ax2?bx?c的图象的抛物线开口向下，对称轴直线x??b2a?0 （即抛物
线的对称轴在y的右侧），与y轴的正半轴，A符合这一特征；故选A. 10.均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列中的 （ ） h H 1
ABCD第10题图t
考点：函数图象及其性质的实际应用.
分析：根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升高的速度；因为D几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小,所以在均匀注水的前提下是先快后慢;故选D.
11.图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近 （ ）
A.
45 B.34 C.21 3 D.2
考点：正方形和圆的有关性质和面积计算.
分析：连接正方形的对角线；根据圆周角的推论可知是正方形的外接圆的直径；设正方形的边长为a，则正方形的面积为a2；根据正方形的性质并利用勾股定理可求正方形的对角线长
2为a2?a2?2a ，则圆的半径为2?2?2a，所以圆的面积为???1?a??a2 ?2???2，所以它们的面积之比为a21?2?0.6366，与C的近似值比较接近； 故选C.
2?a2?12.如图，已知A、B 两点的坐标分别为?8,0?，?0,8?，点C、F分别是直线x??5和x轴
上的动点，CF?10,点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E；当⊿ABE面积取得最小值时，tan?BAD的值是 （ ）
A.8717 B.17 C.45 9 D.9
考点：直角三角形、等腰三角形、相似三角形以及圆的有关性质，勾股定理、三角函数等. 分析：
见后面的示意图.根据题中“点C、F分别是直线x??5和x轴上的动点，CF?10”可以得到线段CF的中点D的运动 “轨迹”是以点M为圆心5半径的圆，当D运动到x轴上方的圆上D' 处恰好使AD'圆相切于D'时，此时的图中的?1最大，则?BAD'最小，此时△ABE面积最小.
x= - 5 在Rt△MD'A中，由坐标等可求AM?13,MD'?5 AD'?132?52?12. 根据题意和圆的切线的性质容易证明△AOE∽△AD'M ，∴
OEAOMD'?AD' ，即OE85?12解得：OE?103 ,∴BE?8?10143?3 .∵A、B 两点的坐标分别为?8,0?，?0,8? 且?AOB?90o ∴AB?82?82?82 ;过点EN?AB于N ,容易证明△ENB是等腰直
角三角形 ∴NE?NB?143?2?732 ∴AN?AB?NB?82?732?1732 在Rt△ANE中，tan?BAD?NEAE?717732?32?17.故选B. yC'CB点评： 本题首先挖出点D的运动 “轨迹”是一个圆，然后在此基 DD'N础上切入探究三角形面积最小时点D的特殊位置，并利用关联
E知识来使问题得以解决.本题综合知识点较多，技巧性墙，并 1x渗透“轨迹”思想，是一道高质量的考题. FMF'OA
第Ⅱ卷 非选择题 （共102分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水铅签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图题 可先用铅笔绘出，确认后用0.5毫米黑色墨水铅签字笔描清楚，答在试题卷上无效. AC二.填空题(共6个小题，每题4分，共24分)
13. 如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD,?1?120o; E2F则?2 = . 1 BD
第13题图考点：平行线的性质、邻补角的定义.
略解： ∵AB∥CD
AC ∴?1??3?120o ∵?2??3?180oE2
13F ∴?2?180o?120o?60o
BD故应填：60o .
14.在一次12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别为1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是 . 考点：众数的定义.
分析：众数是指一组 数据中出现次数最多的数据，90分的有4人，次数最多；
故应填：
90 分.
15.分解因式：2x2?2y2= . 2
考点：提公因式和公式法分解因式
分析：先提取公因式，再利用平方差公式分解.即2x2?2y2?2?x2?y2??2?x?y??x?y?
故应填：
2?x?y??x?y? .
16.某活动小组购买4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为 .
15.分解因式：2x2?2y2= . 考点：列方程组解应用题. 分析：本题抓住两个等量关系列方程组：其一.4个篮球的费用+5个足球的费用=466元；其二.篮球的单价-足球的单价=4元.
故应填：??4x?5y?466?x?y?4 .
17.如图，在Rt△ABC中，?ACB?90o,AB?10,BC?6, CD∥AB, A?ABC的平分线BD交AC于E,DE= .
考点：勾股定理、相似三角形的性质和判定、平行线的性质、等腰三 D角形的性质以及角平分线的定义等等.
E略解： 在Rt△ABC中求出AC?AB2?BC2?102?62?8 BC ∵BD是?ABC的平分线 ∴?1??2
第17题图 ∵CD∥AB ∴?1??D ∴?D??2 ∴CD?BC?6
∵CD∥AB ∴△ABE∽△CDE ∴
CEAE?DECD63BE?AB?10?5 A∴CE?333?5AC?8?8?3
D又在Rt△BCE中 BE?BC2?CE2?62?32?35
E
1B2C∴DE?3BE?3?35?95. 9555故应填：
55 .
18.如图，由10个完全相同的正三角形构成的网格图中， αβ??、?? 如图所示，则cos?????= .
考点：正三角形、菱形的性质，勾股定理、三角函数，整体思想等. 分析：
第18题图本题可以先?,? 拼在一个角中按如图方式连接辅助线BC ； A根据正三角形可菱形的性质求出?1??2????30o,?3?60o
??1B32C∴?ACB??2??3?90o ;设正三角形的边长为a ，则
AC?2a，利用菱形的性质并结合三角函数可以求得：BC?3a
在Rt△ACB中,AB?AC2?BC2??2a?2??3a?2?7a
∴cos?ABC?BC3a21 即cos??????21 21AB?7a?77故应填：7 .
点评：
本题关键抓住把分散的?和?集中拼成在一个角中，通过连接一条辅助线就解决这个问题.然后再利用勾股定理和三角函数使问题得以解决，本题难度不大，但构思巧妙，是一道好题.
三.解答题(共8个题，共78分)
19.（本题满分8分） 计算：?3?4sin45o?8????3?0.
考点：实数的运算，含特殊锐角三角函数值、次幂、绝对值以及二次根式的化简等考点. 分析：先算绝对值、三角函数值、化简根式等，再进行加减乘除.
略解：原式 = 3?4?22?22?1 ···················· 4分 =3?22?22?1
=4 ···························· 8分
20..（本题满分8分）解方程：x2x?1?x?1.
考点：去分母法解分式方程、解一元一次方程.
分析：先去分母把分式方程化为整式方程，再解整式方程，注意验根.
略解： x2?2?x?1??x?x?1? ····················· 2分
x2?2x?2?x2?x
x?2 ······························
6分 当x?2时，代入x?x?1??0 ··················· 7分
所以原方程的解为x?2 ····················· 8分
21.（本题满分8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E,AB?CD,连接AD、BC.
求证：⑴.
；⑵.AE?CE.
AC考点：圆的等对等关系、圆周角定理的推论、等腰三角形的判定
E分析：⑴.利用弦相等得出对应的弧相等，再利用等式的性质证得； DOB⑵.利用弧相等得到圆周角相等，然后利用“等角对等边”证得. 证明：
⑴.连接 AC ···················· 1分
3
∵AB?CD
∴?AB??CD ·················· 3分 ∴?AB??AC??CD??AC 即 ······· 5分
⑵.∵
∴?ACD??BAC ··············· 7分
∴AE?CE
··················· 8分
22.（本题满分8分）某校举行了创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了竞赛.
收集数据：现随机抽取初一年级30名同学“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）： 90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97 88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82
⑴.请将图表中空缺的部分补充完整；
⑵.学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分以上的同学，根据上表统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；
⑶.“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是 .
考点：频数分布表和频数分布直方图、样本估计总体、概率.
分析：⑴.直接根据提供的数据得到相应的频数，再按频数补全图表的空缺部分；⑵.先计算出30名学生获奖的百分比，以此估算360人中的获奖人数；⑶.列举法求概率，注意属于“不放回”的情况. 略解：
⑴.图表各2分. 2
10
⑵.360?1030?120 （人）. 答：初一年级360人中，约有120人将获得表彰. ·············· 6分
⑶.树状图分析图： 龚扇剪纸彩灯恐龙
剪纸彩灯恐龙龚扇彩灯恐龙龚扇剪纸恐龙龚扇剪纸彩灯共有12种情况，其中恰好有恐龙图案的是6种。故P（恐龙图案）=6112?2
故应填：
12. ···························· 8分
注：答卷时不用写解析过程.
23.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1?kx?b?k?0?的图象与反比例函数y2?mx?m?0? 的图象相交于第一、三象限内的A?3,5?,B?a,?3?两点，与x轴交于点C .
⑴.求该反比例函数和一次函数的解析式；
⑵.在y轴上找一点P使PB?PC最大，求PB?PC的最大值及点P的坐标； ⑶.直接写出当y1?y2时，x的取值范围.
考点：待定系数法求解析式、最值、勾股定理、利用函数图象确定自变量的取值范围. 分析：
⑴.先利用已知点的坐标求出反比例函数的解析式，在此基础上求出点B的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式 ；⑵.根据题意和函数图象PB?PC的最大值先利用勾股定理分别求PB、PC的长度再代入相减，本题就是BC的长度 ；⑶.直接根据两图象相交上下位置可以读出y1?y2时的x的取值范围.，注意在每一个象限内来认识. y略解：
⑴.∵A?3,5?在反比例函数ym2?x?m?0?上 A∴m?3?5?15
x∴反比例函数的解析式为y?15COx ········· 2分 B把B?a,?3?代入y?15x可求得a?15???3???5 ∴B??5,?3?. ···························· 3分
4
把A?3,5?,B??5,?3?代入y?kx?b为??3k?b?5?k?1??5k?b??3 解得??b?2.
∴一次函数的解析式为y?x?2. ···················· 5分
⑵. PB?PC的最大值就是直线AB与两坐标轴交点间的距离. y设直线y?x?2与y轴的交点为P.
令y?0，则x?2?0，解得x??2 ，∴C??2,0?
AP令x?0，则y?0?2?2，，∴P?0,2?
-5CO3x∴PB?52?52?52,PB?22?22?22 B∴PB?PC的最大值为52?22?32 . ··· 8分 ⑶.根据图象的位置和图象交点的坐标可知：
当y1?y2时x的取值范围为;?5?x?0或x?3. ············ 10分 点评：
本题的⑴问利用待定系数法可求；⑵问抓住已知直线外两点，要在直线上求作一点使这两点到这点的距离之差最大有两种情况：①.若两点在直线同侧，就是作射线，找交点；②.若两点在直线的异侧，则要先作对称点，再作射线，找交点.；本问属于第一种情况；⑶问主要注意在每一个象限内来认知.
24.（本题满分10分）阅读下列材料：小明为了计算1?2?22?L?22017?22024的值 ，采用以下方法：
设S?1?2?22?L?22017?22024 ① 则2S?2?22?L?22024?22024 ② ②-①得 2S?S?22024?1 ∴S?1?2?22?L?22017?22024?22024?1 ⑴. 1?2?22?L?29= ; ⑵. 3?32?L?310 = ; ⑶.求1?a?a2?L?an的和（a?0 ，n是正整数，请写出计算过程 ）. 考点：规律型探究、数式变形、整体思想、实数的运算. 分析：
本题参照例子的解法主要利用整体思想结合数式变形进行巧算. 略解：
⑴. 设S?1?2?22?L?29 ①
则2S?2?22?L?210 ② ②-①得 2S?S?210?1
∴S?1?2?22?L?29?210?1;故应填：210?1 . ········ 2分
⑵. 设S?3?32?L?310 ①
则3S?3?32?L?311 ② ②-①得 3S?S?S?311?1
11∴S?3?32?L?310?311?1 ;故应填：3?122 . ········· 5分
⑶. 设S?1?a?a2?L?an ①
则aS?a?a2?a3?L?an?1 ② ②-①得 aS?S??a?1?S?an?1?1
a2?L?an?an?1∴S?1?a??1a?1 . ················· 10分
25.（本题满分12分）
⑴.如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将?BDE绕着点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G. ①.线段DB和DG的数量关系是 ； ②.写出线段BE、BF和DB之间的数量关系.
⑵.当四边形ABCD为菱形，?ADC?60o，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将?BDE绕着点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.
①.如图2，点E在线段上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；
②.如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M；若 BE?1,AB?2,直接写出线段GM的长度. G GF
GF
F DCCC DD
M
AEBAEBABE
(图1)(图2)(图3)考点：旋转的特征，正方形以及菱形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形以及直角三角形的性质，勾股定理等. 分析：
本题的⑴问的①直接根据旋转特征可以得出答案；本题的⑴问的②利用旋转的特征和全等三角形把BE、BF转为等腰直角△BDG的斜边,再利用勾股定理或者三角函数可以解决问题；本题的⑶问的①和⑴问的②的思路是一样的，利用旋转的特征和全等三角形把BE、BF转为等腰△BDG的底边BG，再作底边BG上的高线，再利用勾股定理或者三角函数解决问题；本题的⑵的②主要利用旋转的特征、全等三角形、相似三角形分别求出线段GF、CF、CM，
5
再把它们加起来求出线段GM的长. 略解：
⑴.①.根据旋转的特征直接可以得出DB?DG . 故应填：
DB?DG; · 2分
②.根据旋转的特征可知△DEB≌△DFG ∴BE?FG ∴BE?BF?GF?BF?BG. 容易证明△BDG是等腰直角三角形，利用勾股定理或三角函数可以求出BG?2BD ,
即 BE?BF?2BD. ······················ 4分 ⑵.①.BE?BF?3BD. ······················ 5分
理由如下：
∵四边形ABCD菱形
∴?ABD??CBD?1?ABC?30o2 由旋转120°可得:?EDF??BDG?120o
∴?EDF??BDF??BDG?BDF 即?FDG??BDE 在△DBGG中,?G?180o??BDG??DBG?30o ∴?DBG??G?30o ∴BD?DG
∴△BDE≌△GDF（ASA ）
∴BE?GF ∴BE?BF?BF?GF?BG ················ 8分 如图所示：过点D作DH?BG点H ∵BD?DG∴BG?2BH
在Rt △BHD中?DBM?30o ∴BD?2DH
设DH?m，则BD?2m,BH?3m
∴BG?23m
∴
BG2BD?3m2m?3 ∴BF?BE?3BD. ·························· 10分
②.GM的长度为193 . ························· 12分
理由：
根据旋转的特征容易证明△DEB≌△DFG ∴FG?BE?1；同时利用菱形的性质和旋转的特征并结合条件中的“?ADC?60o，将?BDE绕着点D逆时针旋转120°”可以退推出
?CDF?90o,?GFD?30o ∴CF?2CD?2AB?4;
由菱形可得出DC∥AE ∴△BEM∽△CDM ∴BMBE124CM?CD?2 ∴CM?3BC?3
∴GM?GF?CF?CM?1?4?4193?3.（根据题目要求答卷时可不写理由.）
点评：
本题是由旋转建立起来的图形；利用旋转的特征得出全等三角形、等腰三角形含特殊角的直角三角形，以此为突破口，并在此基础探究线段之间的数量关系.本题虽然难度不大，但串联起了初中几何部分的多个重要知识点，是一道高质量的中考题.
26.（本题满分14分）
如图，已知直线AB与抛物线C：y?ax2?2x?c 相交于A??1,0?和点B?2,3?两点. ⑴.求抛物线C的函数表达式；
⑵.若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时，求此时四边形MANB的面积S及点M的坐标；
⑶.在抛物线C的对称轴上是否存在定点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y?174的距离，若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由.
考点：二次函数的图象及其性质、待定系数法、数学的建模思想、勾股定理、距离公式等. 分析：
本题的⑴利用“待定系数法”即可求出二次函数的解析式；本题的⑵抓住建立平行四边形的面积是△ABM的2倍，所以以△ABM的面积建立一个二次函数来求出其最大面积，再进一步求出平行四边形的最大面积；本题的⑶问主要先假设存在，再在此基础上从特殊点切入利用距离公式进行探究其存在的可能性. 略解：
y⑴. ∵A??1,0?和点B?2,3?两点在抛物线y?ax2?2x?c上 MBy?174∴??a?2?c?0?0 ?4a?4?c解得??a??1c?3
A?O∴抛物线C的表达式为：y??x2x?2x?3 ····· 4分
⑵. 设直线AB的解析式为y?kx?b
∵A??1,0?和点B?2,3?在直线AB上
∴??k?b?0 解得???2k?b?3?k?1?b?1 ∴直线AB的解析式为y?x?1 ····· 5分
如图所示，过M作MN?x轴交AB于N
设M?a,?a2?2a?3? ，则N?a,a?1? （?1?a?2 ）
∴MN?yM?yN???a2?2a?3???a?1???a2?a?2，
6
∴S△ABM=S△AMN+BMN=
12?xB?xA??MN ∴S△ABM=1?3???a2?3?1?2272?a?2??2??a?2???8
∴当a?12 ，△ABM的面积有最大值278 ··············· 8分
∴S27□MANB=2S△ABM=?174 ，此时M???2,2??. ·············· 9分
⑶.存在.F???1,15?4?? .
························ 10分 理由如下：令抛物线顶点为D ，则D?1,4? ；则顶点D到直线y?171?4的距离为4；
设F?1,m?，再设Px,?x2?2x?3?
设P到直线y?174的距离为PG,则PG?174???x2?2x?3??x2?2x?54 ∵P为抛物线上任意一点都有PG?PF
∴当P与顶点D重合时，也有PG?PF;则PG?11714 ,即顶点D到直线y?4的距离为4 .
∴PF?DF?14 ，此时m?4?1154?4
∴F???1,15?4?? ······························ 12分
∵PG?PF ∴PG2?PF2
∵PF2??x?1?222???15?4?x2?2x?3?????x?1?2????x2?2x?3?4??，
2PG2???5??x2?2x?4??
∴?x?1?222????x2?2x?3?4??????x2?2x?5?4??
整理化简可得0x?0∴当F???1,15?4??时，无论x取任何实数，均有PG?PF. ·· 14分
点评：
本题的⑴问利用待定系数法即可获得解决；本 题⑵问是数学建模思想的运用，本问比较巧妙的是
?x,?x2?2x?3?要通过三角形的面积的最大值来求平行四边形的最 大值；三角形采用了割补法中的“割”办法切入来 表示面积，再通过二次函数求“最值”.本题的⑶ 问对于绝大多数学生来说具有一定的挑战性，实际 上这里渗透特殊到一般的数学原理，即点P与抛物 线顶点重合到在抛物线上任一点处来探究.同学们平 时要有一定数学功底才能在有限的时间内破题.
以上考点分析解答，仅供参考！
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四川省自贡市2024年中考数学真题试题（含解析）
