第二讲 矩阵运算
§1 基本矩阵运算元
我们在第一讲章已说明过 ＭATＬＡB 的运算是以数组(arrａy)及矩阵 (ｍａｔｒix)
方式在做运算,而这二者在MATLAB的基本运算性质不同，数组强调元素对元素的运算，而矩阵则采用线性代数的运算方式。我们就来说明矩阵运算的特点。
以下将数组及矩阵的运算符号及其意义列出
数组运算符号 矩阵运算符号 功能 ＋ - .＊ ./ ．\\ .＾ ．＇ 利用这些运算符号即可进行以下的矩阵运算。 ＞＞ A=［2 ５ 1; 7 ３ 8; 4 5 ２1； 16 １3 0]; ＞> A' % A的转置矩阵 Ａ ＝ 2 7 4 16 5 3 5 1３ 1 8 ２1 0
>> A=[4 -１ 3]； Ｂ=［-2 5 2]；
>＞ dot_pｒod ＝ ｓum(A.＊B） % 二个数组做内积 ｄｏｔ_ｐｒod = －7
>＞ c＝doｔ(A,Ｂ) % 以doｔ函数也可做内积运算 c = -7
＋ - ＊ / \\ ＾ ' 加 减 乘 左除 右除 次方 转置 >> A=[4; －1； 3];
＞> dｏｔ_pｒｏd = ｓｕｍ(A'．*B)； ％ 如果A是行数组则先做转置,再做内积 >＞ Ｆ=[2 5 -１]; G=［0 １ -3];
>> ouｔ_proｄ=Ｆ＇*Ｇ； % 二矩阵做外积 ＞＞ A=[2,５，1; 0,3,-1］； >> B=[1,0,2; -1,4，-2; 5,２，１];
＞> C=A*Ｂ % 矩阵相乘，注意二个矩阵的大小须相容 C = 2 2２ -5 -8 １0 -７
>> Ａ=［2 1; 4 3］；
＞> A^2 % 矩阵次方 ans ＝ 8 5 20 1３
下面我们演示一个具体的例子。
假设我们把本地区的天气分为3种状态：晴,阴，雨。若今天天阴，则明天天晴的概率为1/2,阴的概率为1／4,下雨的概率为1/４。如果今天天阴,或者今天下雨,则明天天气是其它情况的概率会是其它的值，将这些概率值列入下面的表中。
天气状态转移概率表 今天 明天 晴 阴 雨 晴 3／4 １/8 1/8 阴 1/2 1/4 1/4 雨 1/4 1/２ 1/４ 表中的每一列对应于今天天气状态，它的每一行对应于明天天气状态。例如，第2行第３列(最后一列）的值为１/2,，这给出了今天下雨明天转阴的概率。
将上表内的概率数据用矩阵A表示
?3/41/21/4??? A??1/81/41/2?
?1/81/41/4???矩阵A中概率称为转移概率,矩阵Ａ称为转移矩阵。
已知今天天气晴、阴、雨的概率，可以用转移矩阵A提供的数据来计算明天天气晴、阴、
?分别为明天天气?、p2?、p3雨的概率。记p1、p2、p3分别为今天天气是晴、阴、雨的概率,p1是晴、阴、雨的概率,两个列向量
???p1??p1?????? P??p2? P???p2?p??p???3??3?分别称为今日概率向量和明日概率向量,则有矩阵计算式 P??AP
以当前状态预测未来状态的概率模型称为Markoｖ链。如果在清晨我们听到的天气预报为,今天阴或雨的概率都是1/2， 那么,今日概率向量P?(0,1/2,1/2)?。利用上式计算明日概率向量的Ｍaｔlab操作是：
A＝[３/4 1/2 1／4；１/8 1/4 １/2;1/8 1/4 1／4]; ％输入矩阵Ａ P=[0 1/2 １/２]'; %输入向量P P1=（A*P)＇ P1 =
３/8 3/８ １／4
这里，P1就是按行向量的形式输出的结果。明天天气为晴、阴的概率都是３/８,下雨的概率是1/4。
明日的概率向量可以用前面的Mａrkov链求出，那么两天的概率向量可用公式 P???AP??A(AP?)?(A2)P 给出。这里需要计算A2，我们再用Mａtlab完成矩阵乘积的计算。 A2=A^2 A2 =
２1/３2 9／16 1/2 3／16 1／４ 9/32 ５/32 3/16 7/３2
自-matlab下的矩阵运算
