一．填空题（每空3分，共30分） 1. ABC ABC?7
ABC?43ke?3 C2. ?0.57 3. N?0,1? 4. 5. 0 5 6. 0.1 A B7k!4?0.27 15二．某卡车运送“赈灾”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱为医用口罩，3箱为消毒药水，2箱为消毒棉花。到目的地时发现丢失一箱，不知丢失哪一箱。现从剩下9箱中任意打开1箱，结果是消毒药水的概率。（8分） 解：设B??9箱中任意打开一箱是消毒药水?. A? 1??丢失一箱医用口罩 A?. A3=?丢失一箱消毒棉花?. 1=?丢失一箱消毒药水 依题意可知：P?A1??3 P?B|A1??C11532, P?A2??, P?A3??, 10101011C932332?. P?B|A2??C1?. P?B|A3??C1?. 9C9C999 ?由全概公式知：P?B???P?Ai?P?B|Ai??i?135332233???????0.3. 10910910910
三．设顾客在某银行窗口等待服务的时间以X（分钟计），服从指数分布，且经验表明顾客等待的平均时间为5分钟。某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行4次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。要求： （1）写出X的密度函数；（4分） （2）写出Y的概率分布律；（6分） （3）求P?Y?1?的概率。（4分）
x?1?311?e x?0. EZ??5???. ?Z的密度函数fZ?x???5?5?0 其他?+?x1?5edx?e?2. 5解：?1? （2）顾客在窗口等待服务超过10分钟的概率为P=?0依题意，Y服从二项分布n?5,P?e?2,即b5，e?2 ?P?Y?k??C5e?2k????k?1?e?2?5?k,k?0,1,2,0,5.
?1??1?e?2??0.5167.
5?3?P?Y?1??1?P?Y?0??1?C5?e?2?0?1?e??25
四．设随机变量（X，Y）的联合分布为 X Y 0 1 且已知X与Y相互独立。试求：
1
1 1/8 b 2 1/24 1/8 3 a 1/4 1）a与b的值；（6分）
2）X与Y的边缘概率分布律；（6分） 3）E(XY)。（6分）
解：（1）Z与Y相互独立 ??x0,y0?. P?Z?x0,Y?y0??P?Z?x0?P?Y?y0?.
?P?Z?0,Y?2??P?Z?0?P?Y?2??又
1?111??11?????a?????a?. 24?82412??248?111113ZP?????. ij?1?b?1?8241284811113113?2?P?Z?0?????. P?Z?1?????.
8241248844 ?
又
Z 0 P 1 13 44134111111P?Y?1????. P?Y?2????. P?Y?3????.
88824861243Y 0 P 1 ?
13 4413311111?3?EZ?0??1??. EY?1??2??3??.
444263631111又Z与Y相互独立 ?E?ZY???. ??EZ?EY468
五．设随机变量X服从（0，1）的均匀分布，Y服从参数为??1的指数分布，而且它们相互独立，试计算Z?X?Y的概率密度。（10分） 解：
?y??1 0?x?1?e y?0 fY?y??? fZ?x?????0 其他?0 其他?? 由于Z与Y相互独立，故有独立情形下的卷积公式，fZ?z?????fZ?x?fY?z?x?dx.
?0?x?1若要被积函数非0，则需要0?x?1且z?x?0,即?.?*?
x?z?讨论：1?z?0时，?*?的交集为? ?fZ?z??0.
1??*的交集为?0x? 2?0?z?时，??z?x?z?2.fZ?z????e1dx??e?1
1z.0x??1.fZ?z???e 3?1?z时，?*?的交集为?01?z?x??dx?e1?z?e?z . 2
0?0 z ?? 综上 fZ?z???1?e?z ? z ?0。 1?1?z?zz?e?e ? 1
六．设随机变量X的概率密度为
?(??1)x??2,0?x?1 f(x,?)??其它?0,其中??1为未知参数。设X1,X2,.......,Xn是总体的一组样本，求参数?的极大似然估计量。（10分）
?n??2?????1?xi ?xi??0,1?.解：L?x,????f?x,????i?1
i?1?0 其他?n
讨论?为何值时L?x,??到达最大值，?只需对?xi??0?,的情形下进行一下步骤。1??2n????n?n? ??xi??0,1?. lnL?x,???ln????1???xi???nln???1?????2?ln??xi?.
?i?1???i?1???? ?令?lnL?x?,???nn?n? .??ln??xi??0.????1n??1???i?1?ln??xi??i?1?n??ln??xi??i?1?n ?的极大似然估计量为1?.
七．某厂生产的某种型号的电池，其寿命（以小时计）长期以来服从方差??5000的正态分布，现有一批电池，从其生产情况来看，寿命的波动性有所改变。现随机取26只电池，测出其寿命的样本方差
2s2?7200，问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动较以往的有显著的变化？（??0.05）。（10
分）
解：依题意建立假设：H0:?2?5000, H1:?2?5000。
根据x检验法，利用x22n?1?S2???20x2?n?1?.
??2相应的否定域?x2?x??n?1? or x2?x11???n?1??
22??22 ?x2?x0.025?25? or x2?x0.975?25?
?? ?x2?40.646 or x2?13.120.
?? 3
2将样本数据S2?7200 n?26 ?0?5000带入统计量x2
x2?25?7200?36??13.120,40.646?.
5000?没有落在否定域中. ?应接受H0.
即认为这批电池的寿命的波动较以往无显著变化。
2查表：?0.025(25)?40.646222?0.975(25)?13.120?0.025(26)?41.923?0.975(26)?13.844
4
07-08第二学期概率论与数理统计B答案
