2017年重庆市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z满足（z+i）（1﹣2i）=2，则复数z在复平面内的对应点所在象限是（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x|1＜2x＜4}，则A∩B=（ ） A．{x|1≤x≤2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|1≤x＜2} D．{x|0≤x＜2}
3．若过点M（1，1）的直线l与圆（x﹣2）2+y2=4相较于两点A，B，且M为弦的中点AB，则|AB|为（ ） A．
B．4
C．
D．2
4．（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为（ ） A．30 B．70 C．90 D．﹣150 5．已知函数
的图象向左平移
个单位后关于y轴
对称，则函数f（x）的一个单调递增区间是（ ） A．
B．
C．
D．
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1+a2+a3=a4+a5，S5=60，则a10=（ ）
A．16 B．20 C．24 D．26 7．设双曲线
曲线的离心率为（ ） A．
B．
C．
D．
的渐近线与抛物线相切，则该双
8．将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有（ ） A．18种
B．36种
C．48种
D．60种
9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17 10．y满足约束条件设实数x，A．
B．
，则目标函数 C．
的取值范围是（ ）
D．
11．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）＜f（x）对任意的x∈R恒成立，则下列不等式均成立的是（ ）
A．f（ln2）＜2f（0），f（2）＜e2f（0） B．f（ln2）＞2f（0），f（2）＞e2f（0） C．f（ln2）＜2f（0），f（2）＞e2f（0） D．f（ln2）＞2f（0），f（2）＜e2f（0）
12．已知函数f（x）=
若关于x的方程f2（x）+f（x）+m=0有三个
不同实数根，则m的取值范围是（ ） A．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．设向量
的夹角为θ，已知向量，则θ= ．
14．如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，若直角三角形两条直角边的长分别为a，b，且a=2b，则在大正方形内随即掷一点，这一点落在正方形内的概率为 ．
，若
B．m≤﹣2 C．
D．m＞2
15．已知α∈（
，π），且cos2α+sin（π+2α）=
，则tanα= ．
16．设抛物线y2=4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A，B，若点M满足
=（
+
），过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若|PF|=2，
则M点的横坐标为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，2Sn=3an﹣2n（n∈N+）． （Ⅰ）证明数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=an+2n+1，求证：
+
+b3+…+
＜
．
18．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人．
（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．
平均车速超过 平均车速不超100km/h人数 过 100km/h人数 合计 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计 （Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机
抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望． 参考公式与数据：Χ2=
0.150 P（Χ2≥k0），其中n=a+b+c+d
0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 0.001 0.100 2.706 k0 2.072 7.879 10.828 19．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c． （Ⅰ）若C=2B，求证：cosA=3cosB﹣4cos3B； （Ⅱ）若bsinB﹣csinC=a，且△ABC的面积S=20．已知F1，F2分别为椭圆C：C上． （Ⅰ）求
?
的最小值；
?
=0，已知直线l：y=k（x+1）与椭圆C交于两点A，B，
，求角B．
的左、右焦点，点P（x0，y0）在椭圆
（Ⅱ）若y0＞0且
过点P且平行于直线l的直线交椭圆C于另一点Q，问：四边形PABQ能否程成为平行四边形？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由． 21．已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=x2﹣x．
（Ⅰ）求过点（﹣1，0）且与曲线y=f（x）相切的直线方程；
（Ⅱ）设h（x）=af（x）+g（x），其中a为非零实数，若y=h（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：2h（x2）﹣x1＞0．
四．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：
（α为参数，t＞0），曲线C2：
（s为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲
线C3：ρcosθ﹣ρsinθ=2，记曲线C2与C3的交点为P． （Ⅰ）求点P的直角坐标；
（Ⅱ）当曲线C1与C3有且只有一个公共点时，C1与C2相交于A、B两点，求
|PA|2+|PB|2的值．
23．设f（x）=|x﹣1|+2|x+1|的最小值为m． （Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设a，b∈R，a2+b2=m，求
的最小值．
2017年重庆市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z满足（z+i）（1﹣2i）=2，则复数z在复平面内的对应点所在象限是（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：由（z+i）（1﹣2i）=2，得∴
．
），所在象限是第四象限．
，
∴复数z在复平面内的对应点的坐标为（故选：D．
2．已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x|1＜2x＜4}，则A∩B=（ ） A．{x|1≤x≤2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|1≤x＜2} D．{x|0≤x＜2} 【考点】交集及其运算．
【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B． 【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}， B={x|1＜2x＜4}={x|0＜x＜2}， ∴A∩B={x|1≤x＜2}． 故选：C．
3．若过点M（1，1）的直线l与圆（x﹣2）2+y2=4相较于两点A，B，且M为弦的中点AB，则|AB|为（ ） A．
B．4
C．
D．2
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为C（2，0），半径为2，则|CM|=AB，利用勾股定理可得结论．
【解答】解：圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为C（2，0），半径为2，则|CM|=⊥AB， ∴|AB|=2故选A．
4．（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为（ ） A．30 B．70 C．90 D．﹣150 【考点】二项式系数的性质．
【分析】先求得（1﹣2x）5展开式的通项公式，可得（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数．
【解答】解：∵（1﹣2x）5展开式的通项公式为Tr+1=C5r?（﹣2x）r，
∴（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为2C52?（﹣2）2+C51?（﹣2）=70， 故选：B．
5．已知函数
的图象向左平移
个单位后关于y轴
=2
，
，CM，CM⊥
对称，则函数f（x）的一个单调递增区间是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ值，利用正弦函数的单调性可求单调递增区间． 【解答】解：函数f（x）的图象向左平移（x+
）+φ]=sin（2x+φ+
），
+φ=kπ+
，即φ=kπ+
，k∈z，
个单位后的函数解析式为：y=sin[2
由函数图象关于y轴对称，可得：由于|φ|＜
，可得：φ=
，
可得：f（x）=sin（2x+由2kπ﹣
≤2x+
），
，k∈Z，解答：kπ﹣
≤x≤kπ+
，
，k∈Z， ]．
≤2kπ+
可得，当k=1时，函数f（x）的一个单调递增区间是：[﹣故选：B．
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1+a2+a3=a4+a5，S5=60，则a10=（ ）
A．16 B．20 C．24 D．26 【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列有通项公式、前n项和公式列出方程组，求出首项及公差，由此能求出结果．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn， a1+a2+a3=a4+a5，S5=60， ∴
，
解得a1=8，d=2， a10=8+9×2=26． 故选：D．
7．设双曲线
曲线的离心率为（ ） A．
B．
C．
D．
的渐近线与抛物线相切，则该双
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，联立抛物线方程，运用相切的条件：判别式
为0，可得b=2a，再由a，b，c的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，
渐近线与抛物线可得x2±x+2=0，
相切，
由△=（）2﹣4××2=0， 可得b=2a， c=
=
a，
．
即离心率e==故选：B．
8．将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有（ ） A．18种
B．36种
C．48种
D．60种
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【分析】以甲单独住，合伙住进行分类，利用分类计数原理可得． 【解答】解：利用分类计数原理，第一类，甲一个人住在一个宿舍时有种，
第二类，当甲和另一个一起时有所以共有12+48=60种． 故选：D．
9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
=48种，
=12
A．14 B．15 C．16 D．17 【考点】程序框图．
【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果． 【解答】解：第一次循环：第二次循环：第三次循环：…
第n次循环：令
解得n＞15
=
，n=n+1
，n=2； ，n=3；
，n=4；
∴输出的结果是n+1=16 故选：C．
10．y满足约束条件设实数x，A．
B．
，则目标函数 C．
的取值范围是（ ）
D．
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，再由目标函数的点与定点（﹣1，0）连线的斜率求解． 【解答】解：由约束条件
作出可行域如图，
的几何意义，即可行域内
联立，得A（1，﹣1），
联立由
=
，得B（1，3）．
，而
的取值范围是[
． ，]．
∴目标函数故选：D．
11．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）＜f（x）对任意的x∈R恒成立，则下列不等式均成立的是（ ）
A．f（ln2）＜2f（0），f（2）＜e2f（0） B．f（ln2）＞2f（0），f（2）＞e2f（0） C．f（ln2）＜2f（0），f（2）＞e2f（0） D．f（ln2）＞2f（0），f（2）＜e2f（0）
【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】令g（x）=出答案．
【解答】解：令g（x）=则g′（x）=
故g（x）在R递减， 而ln2＞0，2＞0，
故g（ln2）＜g（0），g（2）＜g（0）， 即
＜
，
＜
， ， ＜0，
，求出函数g（x）的导数，判断函数的单调性，从而求
即f（ln2）＜2f（0），f（2）＜e2f（0）， 故选：A．
12．已知函数f（x）=
若关于x的方程f2（x）+f（x）+m=0有三个
不同实数根，则m的取值范围是（ ） A．
B．m≤﹣2 C．
D．m＞2
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】结合方程f2（x）+f（x）+m=0有三个不同的实数根，将问题转化为函
数图象交点的个数判断问题，结合函数f（x）的图象即可获得解答． 【解答】解：函数f（x）=
的图象如图，
若关于x的方程f2（x）+f（x）+m=0有三个不同实数根，令f（x）=t， 则方程t2+t+m=0的两根一个大于等于1而另一个小于1． 再令g（t）=t2+t+m，则g（1）≤0，即2+m≤0，得m≤﹣2． 故选：B．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．设向量
的夹角为θ，已知向量，则θ=
．
，若
【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据条件，可先求出向量
的坐标，并可得到
及
，进行
的值，从而求出
数量积的运算，从而能求得x的值，从而求出θ的值． 【解答】解：∵又∴∴x=±1； ∴∴
； ；
；
；
，
；
∴．
．
故答案为：
14．如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，若直角三角形两条直角边的长分别为a，b，且a=2b，则在大正方形内随即掷一点，这一点落在正方形内的概率为
．
【考点】几何概型．
【分析】求出三角形的面积，再求出大正方形的面积，根据比值解得即可． 【解答】解：由题意，大正方形面积为a2+b2=5b2， 三角形的面积为ab=b2， ∴小正方形面积为b2，
∴在大正方形内随即掷一点，这一点落在正方形内的概率为 故答案为．
15．已知α∈（
，π），且cos2α+sin（π+2α）=
，则tanα= ﹣7 ．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】由题意可得tanα＜0，再利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值．
【解答】解：∵α∈（，π），∴tanα＜0，
，
∵cos2α+sin（π+2α）=cos2α﹣sin2α=cos2α﹣2sinαcosα=∴
故答案为：﹣7．
=
=
，∴tanα= （舍去），或tanα=﹣7，
16．设抛物线y2=4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A，B，若点M满足
=（
+
），过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若|PF|=2，
则M点的横坐标为 3 ． 【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据已知条件M是AB中点，设出A和B的坐标及直线方程，并将直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，表示出x1+x2和x1?x2，并求出P点坐标，根据|PF|=2，求得k的值，即可求得M点的横坐标．
【解答】解：由题意可知：抛物线y2=4x的焦点为F，准线为x=﹣1，M是AB的中点，
设A（x1，y2），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x﹣1）， 将直线方程代入抛物线方程消去y得：k2x2﹣（2k2+4）+k2=0， 由根与系数的关系：x1+x2=2+
，x1?x2=1，
又设P（x0，y0），y0=（y1+y2）= [k（x1﹣1）+k（x2﹣1）]=， ∴x0=∴P（
， ，），
+1=2，
|PF|=x0+1=∴k2=1，
∴M点的横坐标为3， 故答案为：3．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，2Sn=3an﹣2n（n∈N+）． （Ⅰ）证明数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=an+2n+1，求证：
+
+b3+…+
＜
．
【考点】数列与不等式的综合；等比数列的通项公式．
【分析】（Ⅰ）再写一式，两式相减，即可证明数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）bn=an+2n+1=3n+2n，可得
＜
，即可证明结论．
【解答】解：（Ⅰ）由2Sn=3an﹣2n得：2Sn﹣1=3an﹣1﹣2（n﹣1）， ∴2Sn﹣2Sn﹣1=3an﹣3an﹣1﹣2，即：an=3an﹣1+2
∴an+1=3（an﹣1+1），所以{an+1}是以a1+1为首项，公比为3的等比数列， 由2S1=3a1﹣2知a1=2， ∴an+1=3n，即an=3n﹣1； （Ⅱ）证明：bn=an+2n+1=3n+2n， ∵3n+2n＞2n+2n=2n+1， ∴∴
18．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人．
（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．
＜+
+…+
， =
+
+…+
＜
+
…+
=
．
平均车速超过 平均车速不超100km/h人数 过 100km/h人数 合计 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计 40 20 60 15 25 40 55 45 100 （Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每
次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望． 参考公式与数据：Χ2=
0.150 P（Χ2≥k0），其中n=a+b+c+d
0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 0.001 0.100 2.706 k0 2.072 7.879 10.828 【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．
（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，
，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．
【解答】解： （Ⅰ）
平均车速超过100km/h人数 平均车速不超过100km/h人数 合计 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计 因为
40 20 60 15 25 40 55 45 100 ，所以有99.5%的把握认为平
均车速超过100km/h与性别有关．…
（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为1，2，3，
，有：，，
X可取值是0，．
，，
分布列为 X P 0 1 2 3 ．…
19．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c． （Ⅰ）若C=2B，求证：cosA=3cosB﹣4cos3B； （Ⅱ）若bsinB﹣csinC=a，且△ABC的面积S=【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，利用分析法即可证明．
（Ⅱ）利用余弦定理、正弦定理、三角形的面积公式，结合二倍角公式，即可求出B．
【解答】解：（Ⅰ）证明： ∵cosA=3cosB﹣4cos3B， ?cosA=cosB（3﹣4cos2B）， ?cosA=cosB（3﹣4×?cosA=cosB﹣2cosBcos2B， ?cosA+2cosBcos2B=cosB，
∵C=2B，可得：A=π﹣B﹣C=π﹣3B， ∴原式?﹣cos3B+2cosBcosC=cosB， ?2cosBcosC﹣cosB=cos3B，
?2cosBcosC﹣cosB=cos（B+C）=cosBcoC﹣sinBsinC， ?cosBcosC﹣cosB=﹣sinBsinC， ?cosBcosC+sinBsinC=cosB， ?cos（C﹣B）=cosB，
?cos（2B﹣B）=cosB，显然成立，故得证cosA=3cosB﹣4cos3B． （Ⅱ）在△ABC中，∵S=
，
），
，求角B．
∴bcsinA=
∴bcsinA=bccosA， ∴tanA=1， ∴A=45°
∵bsinB﹣csinC=a， ∴sin2B﹣sin2C=∴cos2C﹣cos2B=∴cos﹣cos2B=
， ， ，
，
∴﹣sin2B﹣cos2B=，
∴sin（2B+45°）=﹣， ∴2B+45°=210°或2B+45°=330°， ∴B=77.5°或142.5°（舍去）． 故B=77.5°．
20．已知F1，F2分别为椭圆C：C上． （Ⅰ）求
?
的最小值；
?
=0，已知直线l：y=k（x+1）与椭圆C交于两点A，B，
的左、右焦点，点P（x0，y0）在椭圆
（Ⅱ）若y0＞0且
过点P且平行于直线l的直线交椭圆C于另一点Q，问：四边形PABQ能否程成为平行四边形？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由． 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（Ⅰ）求出
?
=x02+y02﹣1=x02+1，即可求
?
的最小值；
（Ⅱ）由题意设直线方程，代入椭圆方程，与韦达定理及弦长公式分别求得丨AB丨和丨PQ丨，由平行四边形的性质可知：丨AB丨=丨PQ丨，即可求得k的值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，F1（﹣1，0），F2（1，0）， ∴∴∵﹣∴
?
=（﹣1﹣x0，﹣y0），?
=x02+y02﹣1=x02+1 ≤x0≤
，
=（1﹣x0，﹣y0），
最小值1． ?
=0，∴x0=﹣1，
），
（Ⅱ）∵
∵y0＞0，∴P（﹣1，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由直线与椭圆联立得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0， 由韦达定理可知：x1+x2=﹣
，x1?x2=
．
∴由弦长公式可知丨AB丨=∵P（﹣1，
），PQ∥AB，
|x1﹣x2|=
，
∴直线PQ的方程为y﹣=k（x+1）．
）+3（k+
）2﹣6=0，
将PQ的方程代入椭圆方程可知：（2+3k2）x2+6k2（k+∵xP=﹣1， ∴xQ=
，
∴丨PQ丨=
?丨xP﹣xQ丨=
?，
若四边形PABQ成为平行四边形，则丨AB丨=丨PQ丨， ∴4
=丨4﹣4
k丨，解得k=﹣
．
y+1=0．
故符合条件的直线l的方程为y=﹣
（x+1），即x+
21．已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=x2﹣x．
（Ⅰ）求过点（﹣1，0）且与曲线y=f（x）相切的直线方程；
（Ⅱ）设h（x）=af（x）+g（x），其中a为非零实数，若y=h（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：2h（x2）﹣x1＞0．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值． 【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，设出切点，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得切点坐标，进而得到所求切线的方程；
（Ⅱ）求出h（x）的解析式和导数，讨论a＜0，0＜a＜1，a≥1，求出极值点和单调区间，由2h（x2）﹣x1＞0等价为2h（x2）+x2＞0，由x2=
，可得a=1
﹣x22，即证明2（1﹣x22）ln（x2+1）+x22﹣x2＞0，由0＜x2＜1，可得1﹣x2＞0，
即证明2（1+x2）ln（x2+1）﹣x2＞0，构造函数t（x）=2（1+x）ln（1+x）﹣x，0＜x＜1，求出导数判断单调性，即可得证．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ln（x+1）的导数为f′（x）=设切点为（x0，y0），则切线的斜率为k=
，
，
点（x0，y0）在f（x）=ln（x+1）上，则y0=ln（1+x0）， 可得
=
，解得x0=e﹣1，
可得切线的斜率为，则切线方程为y﹣0=（x+1）， 即为x﹣ey+1=0；
（Ⅱ）证明：h（x）=af（x）+g（x）=aln（x+1）+x2﹣x， 导数h′（x）=
+x﹣1=
，x＞﹣1，
当a﹣1≥0时，即a≥1时，h′（x）≥0，h（x）在（﹣1，+∞）上单调递增； 当0＜a＜1时，由h′（x）=0得，x1=﹣故h（x）在（﹣1，﹣在（
，x2=
， ，
）上单调递减，
）上单调递增，在（﹣
，+∞）上单调递增；
，h（x）在（﹣
，
）上单调递减，
当a＜0时，由h′（x）=0得，x0=在（
，+∞）上单调递增．
当0＜a＜1时，h（x）有两个极值点，即x1=﹣，x2=，
可得x1+x2=0，x1x2=a﹣1，由0＜a＜1得，﹣1＜x1＜0，0＜x2＜1，
由2h（x2）﹣x1＞0等价为2h（x2）+x2＞0，即为2aln（x2+1）+x22﹣x2＞0， 由x2=
，可得a=1﹣x22，即证明2（1﹣x22）ln（x2+1）+x22﹣x2＞0，
由0＜x2＜1，可得1﹣x2＞0， 即证明2（1+x2）ln（x2+1）﹣x2＞0，
构造函数t（x）=2（1+x）ln（1+x）﹣x，0＜x＜1， t′（x）=2（1+x）?调递增，
又t（0）=0，所以t（x）＞0在（0，1）时恒成立， 即2（1+x2）ln（x2+1）﹣x2＞0成立 则2h（x2）﹣x1＞0．
四．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：
（α为参数，t＞0），曲线C2：
+2ln（x+1）﹣1=1+2ln（1+x）＞0，t（x）在（0，1）上单
（s为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲
线C3：ρcosθ﹣ρsinθ=2，记曲线C2与C3的交点为P． （Ⅰ）求点P的直角坐标；
（Ⅱ）当曲线C1与C3有且只有一个公共点时，C1与C2相交于A、B两点，求|PA|2+|PB|2的值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（I）曲线C2：
（s为参数），消去参数s可得普通方程．曲
线C3：ρcosθ﹣ρsinθ=2，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可得直角坐标方程． （II）曲线C1：
（α为参数，t＞0），消去参数α可得普通方程，由
曲线C1与C3有且只有一个公共点，利用圆心到直线的距离等于半径解得t=
．设A（x1，﹣x1），B（x2，﹣x2）．曲线C1与直线C2联立化为4x2+8x﹣7=0，
利用根与系数的关系、两点之间的距离公式即可得出．
【解答】解：（I）曲线C2：x+y=0．
（s为参数），消去参数s可得普通方程：
曲线C3：ρcosθ﹣ρsinθ=2，可得直角坐标方程：x﹣y﹣2=0． 联立
，解得交点P（1，﹣1）．
（α为参数，t＞0），消去参数α可得普通方程：x2+
（II）曲线C1：
（y﹣1）2=t2，可得圆心C1（0，1），半径r=t． ∵曲线C1与C3有且只有一个公共点，∴设A（x1，﹣x1），B（x2，﹣x2）． 联立
，化为4x2+8x﹣7=0，
=t，解得t=
．
∴x1+x2=﹣2，x1x2=﹣． ∴|PA|2+|PB|2=+4=
23．设f（x）=|x﹣1|+2|x+1|的最小值为m． （Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设a，b∈R，a2+b2=m，求【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围求出函数f（x）的最小值，从而求出m的值即可；（Ⅱ）根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可． 【解答】解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=﹣3x﹣1≥2， 当﹣1＜x＜1时，f（x）=x+3＞2， 当x≥1时，f（x）=3x+1≥4，
∴当x=﹣1时，f（x）取得最小值m=2； （Ⅱ）由题意知a2+b2=2，a2+1+b2+1=4，
的最小值．
×2+
×2=
﹣4（x1+x2）
+4=27．
2
﹣4x1x2﹣4（x1+x2）+4=2×（﹣2）﹣4×（﹣2）﹣4×
∴+
=（a2+1+b2+1）（
+）= [5++]≥，
当且仅当∴
=
]时，即a2=，b2=等号成立，
的最小值为．
2017年3月11日
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