2018级中考数学专题训练一材料阅读
1. 如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次
排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的 一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数〃.例如自然数12321,从最高位到个位依次排出 的一串数字是：1, 2, 3, 2, I,从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1, 2, 3, 2, 1,因此12321 是一个“和谐数〃，再加22, 545, 3883, 345543, 都是“和谐数\
（1） 请你直接写出3个四位〃和谐数〃；请你猜想任意一个四位“和谐数〃能否被11整除？并说明理由；
（2） 己知一个能被11整除的三位\和谐数〃，设其个位上的数字x （1WXW4, x为口然数），十位上的数字
为y,求y与x的函数关系式.
2. \十字相乘法〃能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x, y的二次三项式來说，方法的 关
键是把J项系数a分解成两个因数％,血的积，即a=ai ?C2，并使a】?C2+a2?C］正好等于xy项的系数b,那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2= (ajx+ciy) (H2X+C2y)? 例：分解因式：x2 - 2xy - 8y2. 解：如图1,其中1 = 1X1,?8= ( -4) X2,而?2二以2+以(?4)? ?e. x - 2xy - 8y = (x - 4y) (x+2y) 而对于形如ax'+bxy+cy'+dx+ey+f的x, y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2,将a分解成 mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为笫二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b, pk+qj二e, mk+nj=d,即第1, 2列、第2, 3列和第1, 3列都满足十字相乘规则，则原式=(mx+py+j) (nx+qy+k)； 例：分解因式：x2+2xy - 3y2+3x+y+2 解：如图 3,其中 1 = 1X1,?3二(? 1) X3, 2=1X2； 而 2=1X3+1X ( - 1), 1= ( - I) X2+3X1, 3=1X2+1X1； /.x2+2xy - 3y?+3x+y+2二(x - y+1) (x+3y+2) 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)分解因式： (1) 6x2 ? 17xy+12y2= (3x - 4y) (2x ? 3y) (2) 2x2 ? xy - 6y2+2x+17y - 12= (x - 2y+3) (2x+3y - 4) (3) x2 - xy - 6y2+2x - 6y= (x - 3y) (x+2y+2) (2)若关于x, y的二元二次式x2+7xy - I8y2 - 5x+my - 24可以分解成两个一次因式的积，求m的值. 3. 能被3整除的整数具有一些特殊的性质： (1) 定义一种輕被3整除的三位数战的“F\运算：把盂的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到 —个新数?例如 abc=213 时，贝IJ： 213^36(23+13+33=36)^243(33+63=243).数字 111 经过三次\〃运算得 , 经过四次 吓〃运算得—,经过五次\运算得_,经过2016次〃F〃运算得_. (2) 对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如, 一 个四位数，千位上的数字是a,百位上的数字是b,十位上的数字为c,个为上的数字为d,如果a+b+c+d 可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除.你会证明这个结论吗？写出你的论证过程(以这个四位 数为例即可). 4. 定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组 数 为M个数的祖冲之数组.如(3, 6)为两个数的祖冲之数组，因为3X6能被(3+6整除)；又如(15, 30, 60)为三个数的祖冲之数组，因为(15X30)能被(15+30)整除，(15X60)能被(15+60)整除，(30 X60)能被(30+60)整除… (1)我们发现，3和6, 4和12, 5和20, 6和30…，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n (n - 1) (n>2, n为整数)组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想. (3) 若(4a, 5a, 6a)是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a. 5. 如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上数大1,那么我们把这样 的自然 数叫做“妙数\321, 6543, 98,...都是\妙数\ （1） _____________________________________________________ 若某个\妙数”恰好等于其个位数的 153倍，则这个“妙数〃为 ______________________________________ . （2） 证明：任意一个四位〃妙数〃减去任意一个两位“妙数〃之差再加上1得到的结果一定能被11整除. （3） 在某个三位“妙数〃的左侧放置一个一位自然数m作为千位上的数字，从而得到一新的四位自然数A, 且m大于自然数A百位上的数字，否存在一个一位自然数n,使得自然数（9A+n）各数位上的数字全都相 同？若存在请求出m和n的值；若不存在，请说明理由. 6. 连续整数之间有许多神奇的关系， 如：32+42=52,这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方，称这样的止整数组为“奇幻 数组〃，进而推广：设三个连续整数为a, b, c (a (1) 若有一组正整数组为“魔幻数组〃，写出所有的“魔幻数组 (2) 现有几组“科幻数组〃具有下面的特征： 2223+44-5,O. 若有3个连续整数: 25 ； 102+112+122+132+142_O 若有5个连续整数: =2； -------- 365 2详+222+232+242 + 252+262+27 2」 若有7个连续整数: 2030 ； 由此获得启发，若存在n (7
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