第五部分 方程与不等式
1 二元二次方程组解法
方程 x?2xy?y?x?y?6?0
是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中x,2xy,y叫做这个方程的二次项,x,y叫做一次项,6叫做常数项．
我们看下面的两个方程组：
22?x2?4y2?x?3y?1?0, ?2x?y?1?0;?22??x?y?20, ?22x?5xy?6y?0.??22?x2?4y2?x?3y?1?0, ??2x?y?1?0;22??x?y?20, ?2 2??x?5xy?6y?0.第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次
方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．
例1 解方程组
?x2?4y2?4?0,① ?② ?x?2y?2?0.
练 习
1．下列各组中的值是不是方程组的解?
说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解． 例2 解方程组 ??x?y?7,?xy?12.① ②
（1）??x?2,?x?3,?x?1,?x??2, （2）? （3）? （4）?
?y?3;?y?2;?y?4;?y??3;?y?x?5,22?x?y?625; 2．解下列方程组:
（1） ?
（2）??x?y?3,
?xy??10;?x2?y2?13, ??x?y?5请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！
?x2y22??1,?y?2x,??（3） ?5 （4）?2 42??x?y?8.?y?x?3;?
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2 一元二次不等式解法
二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象如下：
的解是
x＜－2，或x＞3； 一元二次不等式
x2－x－6＜0
的解是
－2＜x＜3．
上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．
那么，怎样解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)呢？ 我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．
为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．
我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．
x y －3 6 －2 0 －1 －4 0 －6 1 －6 2 －4 3 0 4 6 由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知 当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x2－x＝6＝0； 当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x2－x－6＞0； 当－2＜x＜3时，y＜0，即x2－x－6＜0．
这就是说，如果抛物线y= x2－x－6与x轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么
一元二次方程
x－x－6＝0
2
（1）
的解就是
x1＝－2，x2＝3；
同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到 一元二次不等式
x2－x－6＞0
（1）当Δ＞0时，抛物线x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程
＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为 x＜x1，或x＞x2； 不等式ax2＋bx＋c＜0的解为 x1＜x＜x2．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0
b
有两个相等的实数根x1＝x2＝－ ，由图2.3－2②可知
2a
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为
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y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与ax2＋bx
b
x≠－ ；
2a2
不等式ax＋bx＋c＜0无解． （3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，由图2.3－2③可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数； 不等式ax2＋bx＋c＜0无解． 今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式． 例3 解不等式：
（1）x2＋2x－3≤0； （2）x－x2＋6＜0；
（3）4x2＋4x＋1≥0； （4）x2－6x＋9≤0；
（5）－4＋x－x2＜0．
22例4 已知不等式ax?bx?c?0(a?0)的解是x?2,或x?3求不等式bx?ax?c?0的解．
例5 解关于x的一元二次不等式x?ax?1?0(a为实数).
例6 已知函数y＝x2－2ax＋1(a为常数)在－2≤x≤1上的最小值为n，试将n用a表示出来．
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说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．
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初高中衔接第五部分方程和不等式
