第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
[考纲传真] (教师用书独具)1.理解同角三角函数的基本关系式：sinα＋cosα＝1，sin απ
＝tan α.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正cos α2切的诱导公式．
(对应学生用书第49页)
[基础知识填充]
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sinα＋cosα＝1； sin α(2)商数关系：tan α＝. cos α2．诱导公式
组序 角 正弦 余弦 正切 口诀 记忆规律 [知识拓展] 1.诱导公式的两个应用：(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了． 2．“1”代换sinα＋cosα＝1. [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若α，β为锐角，则sinα＋cosβ＝1.( ) sin α(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．( )
cos α(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )
π
(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的“奇、偶”是指
2
2
2
222
2
2
2
一 2kπ＋二 π＋α －sin α －cos α tan α 三 －α －sin α 四 π－α sin α 五 π－α 2cos α 六 π＋α 2cos α －sin α 函数名改变 符号看象限 α(k∈Z) sin α cos α tan α cos α －cos α sin α －tan α －tan α 函数名不变，符号看象限 奇变偶不变，符号看象限 的奇数倍、偶数倍，“变与不变”指函数名称是否变化．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
5
2．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α等于( )
13
512512A．－ B．－ C． D．
131313135
B [∵sin α＝，α是第二象限角，
13122
∴cos α＝－1－sinα＝－.]
13
?17π?－sin?－17π?＝________. 3．cos?－???4?4???
?17π?－sin?－17π?＝cos17π＋sin17π＝cos?4π＋π?＋sin?4π＋π?
2 [cos?－???????4?4?4?4?44????
ππ22
＝cos ＋sin ＝＋＝2.]
4422
sin α－cos α4．已知tan α＝2，则的值为________．
sin α＋cos α1
[∵tan α＝2， 3
sin αcos α－
sin α－cos αcos αcos αtan α－11∴＝＝＝.] sin α＋cos αsin αcos αtan α＋13
＋
cos αcos α?π?3?π?5．已知sin?＋α?＝，α∈?0，?，则sin(π＋α)＝________.
2??2?5?
434?π??π?－ [因为sin?＋α?＝cos α＝，α∈?0，?，所以sin α＝1－cos2α＝，所
2?555?2??4
以sin(π＋α)＝－sin α＝－.]
5
(对应学生用书第50页)
同角三角函数基本关系式的应用 15π3π (1)已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为( )
842A．－3
2
B．3 2
3C．－ 43D． 4
32
(2)(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝，则cosα＋2sin 2α＝( )
464A． 25C．1
5π3π
(1)B (2)A [(1)∵＜α＜，
42
∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α， ∴cos α－sin α＞0.
132
又(cos α－sin α)＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
84∴cos α－sin α＝
3. 2
2
48B． 2516D． 25
3cosα＋4sin αcos α1＋4tan α2
(2)∵tan α＝，则cosα＋2sin 2α＝＝＝222
4sinα＋cosαtanα＋13
1＋4×
464
＝，故选A．] 2
25
?3?＋1?4???
[规律方法] 同角三角函数关系式及变形公式的应用方法 sin α221利用sinα＋cosα＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可cos α以实现角α的弦切互化. 2应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用sin α±cos α322＝1±2sin αcos α，可以知一求二. 2222注意公式逆用及变形应用：1＝sinα＋cosα，sinα＝1－cosα，cosα＝1－2sinα. 5[跟踪训练] (1)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )
13
【导学号：79140105】
12A． 55C． 12
12B．－ 55D．－ 12
4?π?(2)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈?0，?，则sin θ－cos θ的值为( )
4?3?
2019年高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
