2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语单元测试卷一课一练(含解析)新人教A版必修第一册

新20版练B1数学人教A版第一章单元测试卷

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.集合{x∈N|x<5}的另一种表示方法是( )。 A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5} 答案:A

解析：小于5的自然数有0,1,2,3,4。

2.若集合M={x|-2≤x<2},N={0,1,2},则M∩N=( )。 A.{0} B.{1}

C.{0,1,2} D.{0,1} 答案:D

解析：∵M={x|-2≤x<2},N={0,1,2},∴M∩N={0,1},故选D。

2

3.集合{2a,a-a}中a的取值范围是( )。 A.{a∈R|a≠0或a≠3} B.{a∈R|a≠0} C.{a∈R|a≠0且a≠3} D.{a∈R|a≠3} 答案:C

2

解析：根据元素的互异性知a-a≠2a,解得a≠0且a≠3。

4.如图1-4,已知全集U=R,集合A={x∈N|x<6},B={x∈R|x>3},图中阴影部分所表示的集合为( )。

图1-4

A.{0,1,2,3} B.{0,1,2} C.{4,5} D.{3,4,5} 答案:A

解析：由题图可知阴影部分所表示的集合为A∩(?UB)={0,1,2,3}。

5.(2018·湖南衡阳八中高三月考)设集合A={0,1,2,3},B={x|-x∈A,1-x?A},则集合B中元素的个数为( )。 A.1 B.2 C.3 D.4 答案:A

解析：若x∈B,则-x∈A,故x只可能是0,-1,-2,-3。当0∈B时,1-0=1∈A;当-1∈B时,1-(-1)=2∈A;当-2∈B时,1-(-2)=3∈A;当-3∈B时,1-(-3)=4?A,所以B={-3}。故集合B中元素的个数为1,选A。

6.(全国Ⅰ高考)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( )。 A.5 B.4 C.3 D.2 答案:D

解析：逐个检验集合B中所有元素是否在集合A中。当3n+2=8时,n=2;当3n+2=14时,n=4。∴集合B中元素8,14在集合A中,∴A∩B={8,14},故选D。

7.(2019·河南洛阳统考)已知集合A={1,m+1},B={2,4},则“m=√3”是“A∩B={4}”的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

2

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A

解析：∵A∩B={4},∴4∈A,∴m+1=4,m=3,m=±√3,∴??=√3是??∩??={4}的充分不必要条件。

8.(2019·武汉二月调考)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A?C,B?(?UC)”是“A∩B=?”的( )。

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C

解析：结合维恩图判断p?q是否成立;再反过来判断q?p是否成立,最后下结论。 若存在集合C,使得A?C,B?(?UC),则可以推出A∩B=?。若A∩B=?,由维恩图可知,存在A=C,同时满足A?C,B??UC。

故“存在集合C,使得A?C,B??UC”是“A∩B=?”的充要条件。

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2

2

9.(2018·广东期末)已知命题p:?x0∈R,??0+2x0+2≤0,则p为( )。

2

A.?x0∈R,??0+2x0+2>0

2

B.?x0∈R,??0+2x0+2<0

2

C.?x∈R,x+2x+2≤0

2

D.?x∈R,x+2x+2>0 答案:D 解析：根据存在量词命题的否定,把存在量词改为全称量词,同时把“≤”改为“>”。故选D。

2

10.(2018·洛阳月考)已知命题p:?m∈R,m+1≤0,命题q:?x∈R,x+mx+1>0。若p,q均为假命题,则实数m的取值范围是( )。 A.m≥2 B.m≤-2

C.m≤-2或m≥2 D.-2≤m≤2 答案:A

2

解析：已知p和q都是假命题,由p是假命题知m>-1;再由q:?x∈R,x+mx+1>0为假命题知m≥2或m≤-2,所以m≥2,故选A。

11.如图1-5中的阴影部分表示的集合是( )。

图1-5

A.(A∪C)∩(B∪C) B.(A∪B)∩(A∪C) C.(A∪B)∩(B∪C) D.(A∪B)∩C 答案:A

解析：设阴影部分表示的集合为M,由题图可知集合M是集合A∪C与集合B∪C的交集,故选项A正确。

12.(2019·孝感高中模拟)已知条件p:x≤1,条件q:<1,则p是??q成立的( )。

??

1

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 答案:B

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。将答案填在题中的横线上) 13.定义集合运算:AB={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合AB中的所有元素之和是 。 答案:18

??=1,

解析：依据题中新定义,知当x=0,y=2或3时,xy=0,x+y=2或x+y=3,故z=0;当{

??=2??=1,

时,xy=2,x+y=3,则z=6;当{时,xy=3,x+y=4,则z=12。即AB={0,6,12},故集合AB??=3中的所有元素之和是0+6+12=18。

14.设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(?UA)∩B= 。 答案:{7,9}

解析：先求出全集U,再利用Venn图进行分析求解。U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},画出Venn图,如图所示,阴影部分就是所要求的集合,即(?UA)∩B={7,9}。

15.已知A={1,2,3},B={x∈R|x-ax+1=0,a∈A},则A∩B=B时a的值是 。 答案:1或2

2

解析：由A∩B=B知B?A。当a=1时,方程x-x+1=0无解,此时B=?满足题意;当a=2时,B={1}满足题意;当a=3时,方程x-3x+1=0的两根为

2

2

3±√5,此时2

B={

3+√52

,

3-√52

},不满足题意。

16.(2019·郑州调考)已知p:x<1或x>5,q:xm+1。若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是 。 答案:[2,4]

??-1≥1,

解析：由题意p:x<1或x>5,q:xm+1,又p是q的充分不必要条件,∴{且

??+1≤5,等号不能同时取得,∴2≤m≤4。

三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(2018·江西九江一中高一期中)已知集合A={x|1

(1)若a=2,求A∩B;

答案:当a=2时,B={??|1

3

3

3

∴A∩B={??|1

(2)若B?A,求实数a的取值范围。 答案:当a≤1时,集合B=?满足B?A;

当a>1时,要使得B?A,则需满足a≤2,即满足此种情况的a的取值范围为1

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18.(12分)设A={x|2x+ax+2=0},B={x|x+3x+2a=0},A∩B={2}。 (1)求a的值及集合A,B;

答案:∵A∩B={2},∴2∈A,2∈B。 由8+2a+2=0得a=-5,满足2∈B, ∴A={2,2},B={2,-5}。

(2)设全集U=A∪B,求(?UA)∪(?UB)的所有子集。 答案:∵U=A∪B={2,-5,},

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1

3

?UA={-5},?UB={2}, ∴(?UA)∪(?UB)={-5,2},

∴(?UA)∪(?UB)的所有子集为?,{-5},{2},{-5,2}。

19.(12分)对于集合A,B,我们把集合{(a,b)|a∈A,b∈B},记作A×B。例如:A={1,2},B={3,4},则有

A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}; B×A={(3,1),(4,1),(3,2),(4,2)}; A×A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}; B×B={(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)}。 据此,试回答下列各题:

(1)C={a},D={1,2,3},求C×D;

答案:C×D={(a,1),(a,2),(a,3)}。 (2)A×B={(1,2),(2,2)},求集合A,B;

答案:∵A×B={(1,2),(2,2)},∴A={1,2},B={2}。

(3)A中有3个元素,B中有4个元素,试确定A×B有几个元素。

答案:A×B中元素的个数,与集合A和B中的元素个数有关,即集合A中的任何一个元素与B中的任何一个元素对应后,得到A×B中的一个新元素。若A中有m个元素,B中有n个元素,则A×B中的元素应为(m×n)个。故若A中有3个元素,B中有4个元素,则A×B中有3×4=12(个)元素。

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20.(12分)(2019·江苏连云港质量调研)已知p:?x0∈R,使m??0-4x0+2=0为假命题。 (1)求实数m的取值集合B;

答案:p等价于mx-4x+2=0无实根,当m=0时,x0=2,有实根,不合题意;当m≠0时,由已知得

2

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Δ=16-4×2m<0,∴m>2。 ∴B={m|m>2}。

(2)设A={x|3a

围。

答案:∵A={x|a+2>x>3a}为非空集合,故a+2>3a,∴a<1,若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则AB成立,∴3a≥2,此时≤a<1,故a的取值范围为{??|≤??<1}。

3

3

2

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21.(12分)(2019·湖北孝感中学高二(上)期中)已知m∈Z,关于x的一元二次方程

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①mx-4x+4=0和②x-4mx+4m-4m-5=0。求方程①和②的根都是整数的充要条件。 答案:解:由方程①②都是一元二次方程,知m≠0。

??≠0,

方程①有实数根的充要条件是{解得m≤1,且m≠0。

??=16-4??·4≥0,方程②有实数根的充要条件是

??≠0,{ ??=16??2-4(4??2-4??-5)≥0,

解得m≥-4,且m≠0。

所以-4≤m<0或0

当m=-1时,方程①为x+4x-4=0,无整数根;

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当m=1时,方程①为x-4x+4=0,方程②为x-4x-5=0,均有整数根。

从而,方程①和②的根都是整数?m=1;反之,m=1?方程①和②的根都是整数。 故方程①和②的根都是整数的充要条件为m=1。

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22.(12分)已知全集U=R,集合A={x∈R|x-3x+b=0},B={x∈R|(x-2)(x+3x-4)=0}。 (1)若b=4时,存在集合M使得A?M?B,求出所有这样的集合M。

答案:易知A=?,且B={-4,1,2},由已知得M是一个非空集合,且是B的一个真子集, ∴用列举法可得这样的集合M共有如下6个: {-4},{1},{2},{-4,1},{-4,2},{1,2}。

(2)集合A,B能否满足(?UB)∩A=??若能,求实数b的取值范围;若不能,请说明理由。 答案:能。由(?UB)∩A=?得A?B。

当A=?时,A是B的一个子集,此时Δ=9-4b<0,∴b>4。 当A≠?时,由(1)知B={-4,1,2},

当-4∈A时,b=-28,此时A={-4,7},不是B的子集; 当1∈A时,b=2,此时A={1,2},是B的子集; 当2∈A时,b=2,此时A={1,2},是B的子集。

综上可知,当且仅当A=?或A={1,2}时,(?UB)∩A=?, 此时实数b的取值范围是{??|??>或??=2}。

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