[学生用书P106(单独成册)])
[A 基础达标]
1．若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是( ) ①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对；
③若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. A．①② C．③④
B．②③ D．②
解析：选B．由平面向量基本定理，可知①④说法正确，②说法不正确．对于③，当λ1
＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．故选B．
→→→
2．e1，e2为基底向量，已知向量AB＝e1－ke2，CB＝2e1－e2，CD＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是( )
A．2 C．－2
B．－3 D．3
→→→→→
解析：选A．DB＝CB－CD＝－e1＋2e2＝－(e1－2e2)．又A，B，D三点共线，则DB和AB是共线向量，
所以k＝2.
→→→
3．已知△ABC的边BC上有一点D，满足BD＝3 DC，则AD可表示为( ) →3→1→A．AD＝AB＋AC
44→→→
C．AD＝－2AB＋3 AC
→1→3→B．AD＝AB＋AC
44→2→1→
D．AD＝AB＋AC
33
→→→→→→3→→3→→1→3→
解析：选B．由BD＝3 DC，得AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC.
44444．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为( ) A．150° C．60°
解析：选B．设向量a，b的夹角为θ， →→→
作BC＝a，CA＝b，则c＝a＋b＝BA(图略)， a，b的夹角为180°－∠C．
因为|a|＝|b|＝|c|，所以∠C＝60°，所以θ＝120°.
B．120° D．30°
→→→→
5．若D点在三角形ABC的边BC上，且CD＝4DB＝rAB＋sAC，则3r＋s的值为( ) 16A．
58C．
5
→→→→
解析：选C．因为CD＝4DB＝rAB＋sAC， →4→4→→→→所以CD＝CB＝(AB－AC)＝rAB＋sAC，
55441248
所以r＝，s＝－.所以3r＋s＝－＝.
55555
→→→
6．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________．
→→→1
解析：如图所示，设AB＝a，AD＝b，则AE＝a＋b，
21→→
AF＝a＋b，又因为AC＝a＋b，
22→2→→
所以AC＝(AE＋AF)，即λ＝μ＝，
334
所以λ＋μ＝.
34答案：
3
→→→→
7．在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，N是AC上一点且AN＝3NC，M是BC的中点，若→→
用a，b表示MN，则MN＝________．
解析：如图所示，连结BD交AC于O点，则O为AC，BD的中点， →→又因为AN＝3NC，
所以AN＝3NC，即N为OC的中点， 1
又M是BC的中点，所以MN∥═2BO， →→→
又BD＝AD－AB＝b－a， →1→1→1
所以MN＝BO＝BD＝(b－a)．
2441
答案：(b－a)
4
8.如图，在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC→→→
于H，M为AH的中点，若AM＝λAB＋μBC，则λ＋μ＝________．
解析：因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1，又M为AH的中点，BC
12B．
54D．
5
→1→1→→1→1→
＝3，所以AM＝AH＝(AB＋BH)＝(AB＋BC)
2223
1→1→2
＝AB＋BC，所以λ＋μ＝. 2632答案：
3
9．用向量法证明三角形的三条中线交于一点．
证明：如图所示，设D、E、F分别是△ABC的三边BC，AC，AB的中点，令AC→＝a，BC→
＝b为基底，
则AB→＝a－b，AD→＝a－1→
12b，BE＝－2a＋b.
设AD与BE交于点G1， 且AG→→→BE→
1＝λAD，BG1＝μ， 则有AG→λa－λ2b，BG→
μ1＝1＝－2a＋μb.
又有AG→→→
1＝AB＋BG1＝??1－μ2??
a＋(μ－1)b， ?λ＝1－μ
所以?2，
解得λ＝μ＝2
?－λ
3.
2＝μ－1，
所以AG→1＝2→3
AD.
再设AD与CF交于点G→2，同理求得AG2＝23AD→
.
所以点G1、G2重合，即AD、BE、CF交于一点． 所以三角形的三条中线交于一点．
10.如图，已知点G是△ABC的重心，若PQ过△ABC的重心G，且AB→＝a，AC→＝b，AP→＝ma，AQ→
＝n b(m>0，n>0)，试问m，n的倒数和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
解：因为AB→＝a，AC→＝b，AD→＝1
2(a＋b)，
所以AG→＝2→1
3AD＝3
(a＋b)，
由于P、G、Q三点共线，则PG→∥GQ→?PG→＝λGQ→
(λ为正实数)， 因为PG→＝AG→－AP→＝1
3(a＋b)－ma
＝?1?3－m??a＋13
b，
苏教版数学必修四同步练习：2.3 2.3.1 平面向量基本定理 巩固提升
