1991 年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一、选择题
本题共有 8 个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １．
设等式 a(x ? a) ? a( y ? a) ? x ? a ? a ? y 在实数范围内成立，其中 a，x，y 是
3x 2 ? xy ? y 2
的值是 两两不同的实数，则 2
x ? xy ? y 2
5 1
（A）3 ； （B） ； （C）2； （D） ．
3 3
答 （ ）
２． 如图，AB‖EF‖CD，已知 AB=20，CD=80，BC=100，那么 EF 的值是 （A） 10； （B）12； （C） 16； （D）18． 答 （ ） ３．
方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 的解是
5
； （B）
? 1 ?5
?； 2 ?1 ?5
?． 2
1 ?（A） ?
2
1 ?
（C） ?5 或 ? 1 ??
2 2 答 （ ）
5
； （D） ?
?
４．
1 1
? 1 n n
．那么(x ??1 ? x 2 )n ，的值是 已知： x ??(1991?1991 ) （n 是自然数）
2
（Ａ）1991 ?1 ； （Ｂ） ? 1991 ?1 ；
（Ｃ） (?1)n1991 ； （Ｄ） (?1)n1991 ?1 ． 答 （ ）
５． 若1? 2 ? 3 ??? 99 ?100 ? 12 n M ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自 然数，则Ｍ
（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．
答 （ ）
６． 若 a，c，d 是整数，b 是正整数，且满足a ? b ? c ， b ? c ? d ， c ? d ? a ，那么 a ? b ? c ? d 的最大值是 （Ａ） ? 1；（Ｂ） ? 5 ；（Ｃ） 0 ；（Ｄ）１． 答 （ ） ７．
如图，正方形 OPQR 内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是S1 ? 1，
S2 ? 3 和S3 ? 1，那么，正方形 OPQR 的边长是
答 （ ）
８．
S2 ? 3
S1 ? 1
（Ａ） 2 ；（Ｂ） 3 ；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．
S 3 =1
的外接圆半径 R ≤1，则 在锐角ΔABC 中， AC ? 1， AB ? c ， ?A ? 60? ，ΔABC 1 1
（Ａ） < c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤ ；
2 2
答 （ ）
（C）c > 2； （D）c = 2． 答 （ ） 二、填空题
１．Ｅ是平行四边形 ABCD 中 BC 边的中点，AE 交对角线 BD 于 G，如果ΔBEG 的面积是 １，则平行四边形 ABCD 的面积是 ．
２．已知关于 x 的一元二次方程ax2 ? bx ? c ? 0 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么， 2b ? 3c
? ． a
(x ? 1)m (x ? 1) p
恒成立，则 3．设 m，n，p，q 为非负数，且对一切 x >０， n ?1 ??q
x x
(m2 ? 2n ? p)2q ? ．
４．四边形 ABCD 中，∠ ABC ? 135 ? ，∠BCD ? 120 ? ，AB ? 6 ，BC ? 5 ? 3 ，
CD = 6， 则 AD = ．
120 ??
135 ??
第二试
x + y， x － y， x y，
y
x
四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）．
二、ΔABC 中，AB＜AC＜BC，D 点在 BC 上，E 点在 BA 的延长线上，且 BD＝BE＝AC，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于 F 点（如
图）． 求证：BF＝AF＋CF
三、将正方形 ABCD 分割为 n 2 个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点 A，C 染成红 色，把 B，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．
历届全国初中数学联赛试卷及答案
