。 。 江西省上饶县中学2017-2024学年高中数学奥林匹克竞赛训练题
（197）（无答案）
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
2x1. 设A?xx?logax,B?yy?2,x?(??,?1).若AüB，则a的取值范围 是.
????2. 已知直线l:y?x?a与抛物线C:x?2py(p?0)交于M、N两点，过M、N的圆
与抛物线C交于另外两个不同的点E、F.则直线EF的倾斜角的余弦值 为.
23. 在?ABC内，3cosA?4cosB?5cosC的最大值为. 4. 称1,2,,n(n?2的一个全排列a1,a2,,an为“好排列”：满足存在唯一的
n
i??2,3,,n?，使得ai?ai?1.若好排列的个数为pn，则?i?2pi. i2，
且
5. 在
四面体
ABCD中，已知
AD?BC,AD?6,BC?2AB?BD?AC?CD?t?t??8,????.则V四面体ABCD最大值的取值范围是.
n6. 设a1,a2,,an为等差数列，且?ai?j?2025(j?0,1,2,3).则项数n的最大值 为.
i?11?a?b?c?,?2?2t2t2t7. 已知，满足?则a?b?c?.
?a?1(b?c)2?b?c?6t.?22?8. 用
?x?表示不超过实数x的最大整数，令
?x??x??x?.则满足
?(2m?1)??2m?1??m的所有自然数m的平方和为.
??
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二、解答题（共56分）
2Sn?(n?1)Sn?n9.（16分）在正项数列?an?中，a1?4，其前n项和Sn满足an?1?.令
Sn?1n52n?1?12.证明：对于任意的n?Z?，均有?bi?. bn?12(3n?2)ani?1
10.（20分）已知曲线C1是以原点O为中心、F1和F2分别为左和右焦点的椭圆，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线，A为曲线C1与C2的交点，且?AF2F1为钝角，
75AF1?,AF2?，过点F2作一条与x轴不垂直的直线l，分别与曲线C1、C2依次交于
22B、C、D、E四点，其中，点B、E在曲线C1上，点C、D在曲线C2上.设G为CD的中BEGF2点，H为BE的中点.求的值.
CDHF2
11.（20分）设?、?为任意三角形的两个内角.若存在?、?，使得不等式
cos??cos??a?cos??成立，求实数a的取值范围.
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加 试
一、（40分）如图1，H为锐角?ABC的垂心，点M、N分别在边AB、AC上
?HMB??HNC?600，直线HM与CA的延长线交于点P，直线HN与BA的延长线交于
点Q，O为?HMN的外心.证明：
（1）OH?PQ；
（2）若?EBC?60，点E与A在直线BC的同侧，且E、O、H三点共线，则?EBC为正三角形.
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0
二、（40分）设k?1.求最大的实数?，使得对任意满足
1?2016的实数?i??xinxi?0(i?1,2,?n??nk?xi1,n)，有?????k???xi?.
i?11?xi?i?1xi(1?xi)??i?1?n
222三、（50分）设a、b、c为有理数，且a?b?c与a?b?c为相等的整数.证明：存在整数
u、v，满足abcv3?u2，其中，(u,v)?1.
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四、(50分)设A、B、C为集合M??1,2,,3n?的任意三个n元子集，且
ABC??,ABC?M.问：是否存在a?A,b?B,c?C，使得其中某两个数的和
等于第三个数？
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江西省上饶县中学2017 - 2024学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(197)（无答案）
