4?2t?t2注1：利用C2的圆心到l的距离小于C2的半径，列出不等式||?22，
2同样可以求得②中t的范围.
注2：更简便的计算|PQ||PR|的方式是利用圆幂定理，事实上，C2的圆心为M(4,0)，半径为
r?22，故|PQ||PR|?|PM|2?r2?(t2?4)2?(2t)2?(22)2?t4?4t2?8.
y2?1，左右焦点分别为F1、F2，过点F2作一直线与双曲线C2016A 7、双曲线C的方程为x?32的右半支交于点P、Q，使得?F1PQ?900，则?F1PQ的内切圆半径是 ◆答案：7?1
★解析：由双曲线的性质知，F1F2?2?1?3?4，PF1?PF2?QF1?QF2?2．
222因?F1PQ=90°，故PF1?PF2?F1F2，因此
PF1?PF2?2(PF12?PF22)?(PF1?PF2)2?2?42?22?27从而直角?F1PQ的内切圆
半径是r?111(F1P?PQ?F1Q)?(PF1?PF2)?(QF1?QF2)?7?1 222
2016A 11、（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系中，F是x轴正半轴上的一个动点。设F为焦点，O为顶点作抛物线C。设P是第一象限内抛物线C上的一点，Q是x轴负半轴上的一点，使得PQ为抛物线C的切线，且|PQ|?2，圆C1，C2均与直线PQ相切于点P，且均与x轴相切。求点F的坐标，使得圆C1与C2的面积之和取到最小值。
★解析：设抛物线C的方程是y2?2px(p?0)，点Q的坐标为(?a,0)(a?0)，并设C1,C2的圆心分别为O1(x1,y1),O2(x2,y2)．
设直线PQ的方程为x?my?a(m?0)，将其与C的方程联立，消去x可知y2?2pmy?2pa?0． 因为PQ与C相切于点P，所以上述方程的判别式为??4p2m2?4?2pa?0，解得m?而可知，点P的坐标为(xP,yP)?(a,2pa)．于是
2a．进p|PQ|?1?m2|yP?0|?1?由｜PQ｜=2可得
2a?2pa?2a(p?2a)． p4a2?2pa?4 ①……………………5分
注意到OP与圆C1,C2相切于点P，所以OP?O1O2．设圆C1,C2与x轴分别相切于点M，N，则OO1,OO2分别是
?POM,?PON的平分线，故?O1OO2=90°．从而由射
影定理知
22y1y2?O1M?O2N?O1P?O2P?OP2?xP?yP?a2?2pa
结合①，就有y1y2?a?2pa?4?3a ②……………………10分 由O1,P,O2共线，可得
22y1?2pa2pa?y2?y1?yPOPOMy?1?1?1．
yP?y2PO2O2Ny2
化简得
y1?y2?22pay1y2 ③……………………15分
22令T?y1，则圆C1,C2的面积之和为?T．根据题意，仅需考虑T取到最小值的情况． ?y2根据②、③可知，
T?(y1?y2)2?2y1y2?422y1y2?2y1y2 2pa4(4?3a2)(2?a2)222?(4?3a)?2(4?3a)?． 4?4a21?a22作代换t?1?a，由于4t?4?4a2?2pa?0，所以t?0．于是
T?(3t?1)(t?1)11?3t??4?23t??4?23?4．
ttt31，此时a?1?t?1?，因此结合①得， 33上式等号成立当且仅当t?p1?a2??2at1?13?3t3?3?13?3
从而F的坐标为(
p1,0)?(,0)．………………………20分 23?3222016B 6、在平面直角坐标系xOy中，圆C1:x?y?a?0关于直线l对称的圆为
C2:x2?y2?2x?2ay?3?0,则直线l的方程为 ◆答案：2x?4y?5?0.
★解析：C1,C2的标准方程分别为C1:x2?y2?1,C2:?x?1???y?a??a2?2.
由于两圆关于直线l对称，所以它们的半径相等．因此a?a2?2?0,解得a?2.故C1,C2的圆心?1?分别是O1?0,0?,O2??1,2?.直线l就是线段O1O2的垂直平分线，它通过O1O2的中点M??,1?，由此可
?2?得直线l的方程是2x?4y?5?0.
22
2016B 11、（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C的方程为x2?y2?1．求符合以下要求的所有大于1的实数a：过点?a,0?任意作两条互相垂直的直线l1与l2，若l1与双曲线C交于
P,Q两点，l2与C交于R,S两点，则总有PQ?RS成立．
★解析：过点?a,0?作两条互相垂直的直线l1:x?a与l2:y?0.
易知，l1与C交于点P0a,a2?1,Q0a,?a2?1（注意这里a?1），l2与C交于点
????R0?1,0?,S0??1,0?,由条件知2a2?1?PQ00?R0S0?2，解得a?2.
这意味着符合条件的a只可能为2.
下面验证a?2符合条件． 事实上，当l1,l2中有某条直线斜率不存在时，则可设l1:x?a,l2:y?0，就是前面所讨论的l1,l2的情况，这时有PQ?RS.若l1,l2的斜率都存在，不妨设
1x?2?k?0?, k注意这里k??1（否则l1将与C的渐近线平行，从而l1与C只有一个交点）．
l1:y?kx?2,l2:y??????联立l1与C的方程知，x?k22?x?2?2?1?0,即
?1?k?x22?22k2x?2k2?1?0,
这是一个二次方程式，其判别式为??4k2?4?0．故l1与C有两个不同的交点P,Q．同样，l2与C也有两个不同的交点R,S.由弦长公式知，
PQ?1?k?24k2?41?k21?k2?2?.
1?k2?21???k?k2?11?22.于是PQ?RS. 用?代替k，同理可得RS?2??2k?1k1???k?综上所述，a?2为符合条件的值．
解析几何-历届高中数学联赛真题分类汇编含详细答案
