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学员 数学 科目第
次个性化教案
备课时间
排列组合问题的解题策略
授课时间
教师姓名
学员年级
高二
共
课时
课题名称 教育顾问
课时总数
学管 邱老师
1、两个计数原理的掌握与应用；
2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握； 3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题） 1、两个计数原理的掌握与应用；
2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握； 运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）
教师活动
教学目标
教学重点 教学难点
一、作业检查与评价（第一次课程）
二、复习导入
排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
三、内容讲解
1. 分类计数原理 ( 加法原理 ) 完成一件事，有 方法，?，在第
n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有：
N m1 m2
2 类办法中有 m2 种不同的
mn
种不同的方法． 2. 分步计数原理（乘法原理）
教学过程
完成一件事， 需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法， 做第 2 步有 m2 种不同的方法， ?，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有：
N m1 m2
mn
种不同的方法． 3. 分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
:
解决排列组合综合性问题的一般过程如下 1. 认真审题弄清要做什么事
2. 怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是分类 , 或是分步与分类同时进行 , 确定分多少步及多少类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题( 有序 ) 还是组合 ( 无序 ) 问题 , 元素总数是多少及取出多少个元 素 .
4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
排列组合问题的解题策略
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一、相临问题 —— 捆绑法
例 1． 7 名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？
解：两个元素排在一起的问题可用
“捆绑 ”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，
并考虑甲乙二人的顺序，所以共有
种。
评注：一般地 : n 站成一排 , 其中某 m 个人相邻 , 可用 “捆绑 ”法解决，共有 ANN MM AMM 种排法。 练习： 5 个男生 3 个女生排成一排
,3 个女生要排在一起 , 有多少种不同的排法 ?
二、不相临问题 —— 选空插入法
例 2． 7 名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？
解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：
A62 A55
种 .
插入法 : 对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题 , 可以用插入法 . 即先排好没有限制条件的
. 若 N 个人站成一排，其中
M
元素 , 然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可 个
人不相邻，可用“插空”法解决，共有
练习： 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票 生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？
种排法。
12 张。 8 个学生， 4 个老师，要求老师在学
分析 此题涉及到的是不相邻问题 , 并且是对老师有特殊的要求 , 因此老师是特殊元素 , 在解决时就要特殊对待 . 所涉及问题是排列问题 .
解 先排学生共有 共有
种排法 , 然后把老师插入学生之间的空档，
共有 7 个空档可插 , 选其中的 4 个空档 , 种 .
种选法 . 根据乘法原理 , 共有的不同坐法为
三、复杂问题 -- 总体排除法或排异法
有些问题直接法考虑比较难比较复杂，或分类不清或多种时，而它的反面往往比较简捷，可考虑用 “排除法”，先求出它的反面 , 再从整体中排除 . 解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素 的限制。 个 .
例 3.(1996 年全国高考题 ) 正六边形的中心和顶点共
7 个点，以其中 3 个点为顶点的三角形共有
解：从 7 个点中取 3 个点的取法有 种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线
不能组成三角形，有 练习： 我们班里有 少种 ?
3 条，所以满足条件的三角形共有 － 3＝32 个.
43 位同学 , 从中任抽 5 人 , 正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多
分析 此题若是直接去考虑的话 漏或者重复的情况
, 就要将问题分成好几种情况 , 这样解题的话 , 容易造成各种情况遗 , 不但容易理解 , 而且在计算中也是非常
. 而如果从此问题相反的方面去考虑的话
的简便 . 这样就可以简化计算过程 . 解 43
人中任抽 5人 的方法有 种 , 正副班长 , 团支部书记都不在内的抽法有
种 .
种 , 所以正副班长 , 团
支部书记至少有 1 人在内的抽法有
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四、特殊元素 -- 优先考虑法
对于含有限定条件的排列组合应用题， 不同的排法
种．
可以考虑优先安排特殊位置， 然后再考虑其他位置的安排。
例 4． (1995 年上海高考题 ) 1 名老师和 4 名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有
解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置， 有 3 种，而其余学生的排法有
种，所以共有
＝72 种不同的排法 .
例 5．（ 2000 年全国高考题）乒乓球队的 主力队员要安排在第一、三、五位置，其余 安排共有
种 .
10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名队员参加比赛， 3 名
7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场
解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有 安排在第二、四位置，有 五、多元问题 -- 分类讨论法
种
种排法，而其余 7 名队员选出 2 名
＝252 种 .
排法，所以不同的出场安排共有
对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。 例 6．（ 2003 年北京春招）某班新年联欢会原定的
5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新
）
节目 . 如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ A ．42 B ．30 C ．20 D ．12
解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况： 种。故不同插法的种数为：
1. 不相临：共有
种； 2. 相临：共有
A62 + A22 A61 =42 ，故选 A。
例 7．（ 2003 年全国高考试题）如图，一个地区分为 不得使用同一颜色，现有
5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区
种 . （以数字作答）
4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有
解： 由题意，选用 3 种颜色时 ，C4 3 种颜色， 必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色
方法有 C43 A 33 =24 种 4 色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有
2 种情况，涂色方法有
C2 1A 44 =48 种所以不同的着色方法共有
48+24=72 种；故答案为 72
六、混合问题 -- 先选后排法
对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．
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排列组合问题的解题方法与技巧的总结(完整版)
