第八章向量与解析几何
向量代数
定义 向量
疋义与运算的几何表达
有大小、有方向?记作a或 向量a的模记作a
在直角坐标系下的表示
AB
a = ax ay
4 ax 二 pga,
x
aTa
, ay , az)
z 二
■I prjza
模
a| = Jax2 +ay2 +az2
和差
c = a_ b - \\ax士bx,ay士by,az士bf
z
单位向量
方向余弦
点乘（数量积）
叉乘（向量积）
c 二 a b
a = 0 ,则与a同向的单位向量为
(ax,ay,az)
la
；'ax2 - ay2 - az2
cos：
设a与x, y,z轴的夹角分别为〉，一， 则方向余弦分别为 cos ，cos '■，cos
二
cos :
，cos
ea =( cos， cos :， cos )
cos^ +cos^ cos2 =1 a b 二 axbx
i
a 汉 b =
a ”b = a||b|cos日，日为向量a与b的夹
角
ayby
j ax
azbz k ayaz
ayby
ay
c = |b sin^
二为向量a与b的夹角 向量c与a， b都垂直且右手系
定理与公式
bx by bz
azbz 二 0
垂直 平行
a - b 二 axbx
az
a
by
两向量夹角余弦
交角余弦
cos^
a||b
COST
axbx +上yb^azbz
Ja 2 +a 2 + a 2 Jb 2 +b 2 + b2
x
y
z
x
y
z
向量a在非零向量b上的投影
投影
prjba 二 |cos(a b)
二 ￥
prjba 二
axbx ayby azbz
、bx2 by2 bz2
平面 法向量 n= {A, B,C} 方程名称 一般式 直线 点 M°(x0,y0,z0) 方向向量 T ={m, n, p} 点 M°(X0, y0,z°) 方程名称 一般式 方程形式及特征 』A〔x+B1y+C1z + D1 = 0 方程形式及特征 Ax +By+Cz + D = 0 .A2x+B2y+C2z + D2 =0
点法式 A(x—Xo)+B(y— yo)+C(z—Zo)=0 X—Xi X 2 — i x点向式 x — Xo y — y° z — Zo m n p 'x = x0 + mt {y = yo + nt (Z= Zo + pt y—yi yz—Zi — z =0 Zs - z z三点式 2 — yi 2 参数式 X3 - Xi 截距式 面面垂直 面面平行 『3 - yi x a y z d 一 + 工 + _ =1 Ai b c +B1B2 +C1C2 = 0两点式 线线垂直 线线平行 X —Xo Xi — Xo y—yo Z—Zo yi — yo 乙 一 Zo mi ni n2 pi p2 mm2 + nw 2 + 922 = 0 m2 Ai Bi Ci ABC A2 B2 C2 m n 点面距离 线面垂直 p Ax + By + Cz + Di = 0 i 线面平行 Am + B n + Cp = 0 面面距离 Mo(xo, yo,Zo) Ax + By + Cz + D = 0 Ax + By + Cz + D2 = 0 d Axo + By。+Czo + D JA2 +B +C 22d = 线线夹角 Di - D2I 线面夹角 JA2 + B2+C2 s = {m,n, p} n= {A,B,C} 面面夹角 m ={ Al, B Q} n2 ={ A2, B2,C2} COSn — Q Si ={mi,ni, Pi} S2 ={m)2,n?, P2} sin? |mimh +n 乜 + pi P2I cos? 2 2 2 / 2 2 2 xmi +ni +pi 斗 m2+n2+p2 IAA+BB2+GC2I ! 2 2 2 2 2 2 1 珂馬侮心 JA+B+C fm + n+p 222222QA +B +C A +B2 +C2 'x=?(t), W =切“线”方程：x^X。= y — yo =Z—Zo 切向量 屮(t)， t兰P) jto) 『(to) E(to) z“(t)， (a兰T =(『(to),屮化)，『(to)) 法平“面”方程： 空 间 曲 线 W(to)(x-Xo)+屮 F(to)(y-yo)+Q(to)(z-Zo) = o 切向量 切“线”方程：X—Xp = y-yp =z-s r： x —Xo Fx(Xo, yo, Zo) y —yo Fy(xo, yo, Zo) Z —Zo Fz(x°, y°,z°) 第十章重积分 重积分 积分类型 计算方法 (1) 典型例题 利用直角坐标系 X —型 0 (x) ”f(x,y)dxdy=[dx ￡x)f(x, y)dy b D Y—型 JJf(x, y)dxdy = [ dy ] D d Q(y) f (x, y)dx —重积分 (2)利用极坐标系 使用原则 1 = JJ f (x, y db D (1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示 平面薄片的质 量 (2)被积函数用极坐标变量表示较简单 (含圆弧，直线段)； (含(x + y )°, a为实数) ⑹； f f 质量=面密度 汇面积 jj f (Pcos日，Psin日)PdPd。 n J 0 X~~X- D P =(/日打(总 f(Pcos日，Psin^)PdP 计算步骤及注意事项 i.画出积分区域 t2 .选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关于坐标变量易分离 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 i3 .确定积分次序 4.确定积分限 4 '投影法 (1)利用直角坐标丿 、截面法 投影法：川f (x, y,z)dV二 Vxydxdy.y) f(x,y,z)dz d c Z2(x,y) 截面法：川f (x, y, z)dV = =Q f dzJJD f (x, y,z)dxdy Dz 9X = P cos 1 二重积分 I = Mf(x,y,z)dV (2) 利用柱面坐标 』 y = Psi n 日 z = z 相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围： 空间立体物的 质量 ① 积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如旋转体 ② 被积函数 用柱面坐标表示时 变量易分离?如f(x?+y2) \日=r si nW cos 日 1 质量=密度代 面积 (3)利用球面坐标 第十一章曲线积分与曲面积分 曲线积分与曲面积分 积分类型 计算方法 典型 例题 参数法(转化为定积分) b第一类曲线积分 i1 2~ (1 )L:y = y(x), aEx^b l=J f (x, y(x))Jl + y' (x)dx a 1 = (f(x,y)ds 曲形构件的质量 质量-线密度汉弧长 (2) L: !x \(口 兰t 兰B ) 卜严) 1 = f f(%)严(t))J*(t)+A2(t)dt (1) 参数法(转化为定积分) L : i r 厂屮(t) (t: O T p ) P [Pdx +Qdy = JJPN (t),屮(t)]A(t) +Q[? (t),屮⑴]屮 \\t)}dt ”x = ?(t) 三维情形：r J (t) lzw(t) B pdx+Qdy + Rdz^ gP[?(t)严(t)?(t)]取(t) +Q[?(t),屮(t),灼⑴严 \\t) + R[?(t),屮(t),(o(t)怜 \\t)}dt 平面第一类曲线积分 (t： a t P ) I 二 l Pdx Qdy 变力沿曲线所做的功 第一类曲面积分 I nf(x,y,z)dS曲面薄片 Z 的质量 质量 =面密度面积 第二类曲面积分 I = Pdydz Qdzdx Rdx(y Z 流体流向曲面一侧的流量 (2) 利用格林公式(转化为二重积分) 条件：①L封闭，分段光滑，有向(左手法则围成平面区域 D) ②P, Q具有一阶连续偏导数 结论：q Pdx+Qdy= □(兰一竺)dxdy 满足条件直接应用 应用：.有瑕点，挖洞 不是封闭曲线，添加辅 助线 (3) 利用路径无关定理(特殊路径法) 等价条件：①=Q =「P ② Pdx?Qdy=O ex dy ③ LPdx Qdy 与路径无关，与起点、终点有关 ④ Pdx Qdy具有原函数u(x, y) (特殊路径法，偏积分法，凑微分法) (4) 两类曲线积分的联系 I = [Pdx Qdy二 L(PCOS： Qcos )ds 投影法 二:z = z(x, y)投影到 xoy 面 I = “ f (x, y, z)dS二(J f (x, y, z(x, y)屮+zOz： dxdy 二 D 类似的还有投影到 yoz面和zox面的公式 (1)投影法 CD Pdydz= _ P(x(y,z), y,z)dydz Z Dyz v： x=x(y,z)，:?为7的法向量与x轴的夹角 前侧取C \+”，cosa >0 ；后侧取\一”，co泊< 0 Qdzdx Q(x, y(x, z),z)dzdx 丈 Ux '、' ：y = y(x, z)，[为7的法向量与y轴的夹角 右侧取\+”， cos P > 0 ；左侧取\一 ”，cos P c 0 C Rdxd尸一 R(x, y, z(x, y))dxdy Z 以y 7： z=z(x, y)， 为7的法向量与z轴的夹角 上侧取“ +”， COSYA0 ；下侧取“ —”，cosYc0 (2 )高斯公式 条件：①a封闭，分片光滑，是所围空间闭区域 ■'1的外侧 ②P, Q, R具有一阶连续偏导数 P Q R 结论：JJ Pdydz + Qdzdx 十 Rdxdy = fff cy (—十—+—cz )dV 咗 Q ex P 满足条件直接应用 应用：丿 不是封闭曲面，添加辅 助面
高数下册公式总结(修改版)
