第五部分：不等式专题（线性规划，一元二次不等式，基本不等式）
不等式是高中数学重要的知识，考试中涉及的考点也很多，从江苏目前的高中数学要求来说，除了不等式证
明以外，其他形式的考察还是很多的。就内容来说，这部分分为高一难度和高考难度；从题型上来说，包含：线性规划，基本不等式，解不等式，不等式恒（能）成立，还有一些转化为不等式问题的题型。
高一难度的不等式问题主要是线性规划，基本不等式的常规考察，解不等式（包含含参形式），涉及常规函数
的不等式恒（能）成立问题。
1、线性规划
（1）掌握好线性规划，首先需要知道，线性规划的考题特点：已知条件一般是一个不等式组或者一条曲线方程，问题一般是求解一个含有两个变量式子的范围、最值。所以，有的时候是要根据题目的条件形式和所求问题的形式，将所求解问题转化为线性规划问题。
比如：已知等差数列?an?，a5?1,a8?2，则a12的取值范围是
（2）线性规划性的常规考题相对简单一些，从问题来说有三个常见形式：（1）截距型：ax?by；（2）距离型：
?x?a?2??y?b?2；（3）斜率型：
y?b；如果直接考这几个类型倒还好。 x?a?x?0?比如：已知x,y满足条件?x?2y?1?0，则2x?y的最大值是 ，
?y?0?值是 ，
（3）有的时候会求解不等式组对应区域的面积等稍微活一点的题目。 比如：
?x?2?2??y?1?2的最小
y的取值范围是 。 x?3?2x?y?0?① 已知P(a,b)满足不等式组?x?2y?0,则P所在区域的面积是
?x?y?4?0??x?0?② 已知x,y满足条件?x?2y?1?0，使得ax?y取得最大值的点有无数个，则实数a的值是
?y?0??x?0?③ 已知x,y满足条件?x?2y?1?0，且ax?y在点（1,0）处取得最大值，则实数a的范围是
?y?0?
（4）稍微难的是需要转化为这几个类型的的时候要能够看得出。
?x?0xy?2x?5y?6?y2?比如：已知x,y满足条件?x?2y?1?0，则的取值范围是 2(x?1)?y?0? 2、解不等式
解不等式分为含参和不含参之分，普通解不等式倒还好，不管是解一元一次不等式，一元二次不等式，分数不等式（注意分母不为零），指数、对数不等式，还是需要用“换元”解决的一些复合不等式，都还不算难；有时候可以用函数单调性解不等式，但是需要考虑定义域，这个需要在解题的时候能够想到，一般会条件这么给“已知或者能求出单调性，知道函数的零点”。
另外需要注意的是，其实解不等式和解方程的过程是差不多的，所以不等式的解集中式“边界”和不等 式对应的根式有关系的，比如：已知不等式ax?bx?1?0的解是?的解是________．
解含参不等式是相对难一点的，不过过了高一后，真正到后面的函数学习中，又不多见这种情况，只是作为不等式的内容之一，也要好好的学一学，理清楚分类讨论的思路和步骤。
而含参不等式中，最为重要的就是一元二次不等式的分类讨论，因为在高二所学的导数那部分知识中会涉及这个内容。关于这个分类讨论，条理性要注意的：首先考虑是否是一元二次不等式，其次考虑对应的一元二次方程根的情况（是否有根，有几个根，大小怎么样，是否在定义域中），最后根据题目变量x的取值范围去得出不等式的解集。 例1、解不等式x?(a?
分析： 首先因式分解(x?a)(x?)，二次函数y?(x?a)(x?)的两根为x1?a,x2?之间，但是两根大小关系不确定，这就需要进行分情况讨论，
1°a?2211?x??，则不等式x2?bx?a?0 231)x?1?0 (a?0) a1a1a1，解应该是两根a1111，解不存在；2°a?，即a?1或?1?a?0，?x?a；3°a?，即a??1或0?a?1，aaaaa?x?
1 a2例2、解不等式：ax??a?1?x?1?0
分析：因式分解(ax?1)(x?1)?0，考虑到影响因素，到底解是在两根之间还是两根之外是由二次项系数决定的，所以a的取值是关键，联系到二次函数y?(ax?1)(x?1)，两根为x1??1°a?0，不等式变为x?1?0，解为x??1， 2°a?0，?1,x2??1 a11??1，x2?x?x1，解为?1?x??， aa1和?1的大小关系不一定，这个时候就需要进行二者的讨论， a1111 当?>?1时，即a?1，x??或x??1，当?=?1时，即a?1，x??1，当???1时，x??1aaaa1或x??
a3°a?0，?
例3、解不等式m?1x?4x?1?0?m?R?
22??
分析：当m+1=0时,它是一个关于x的一元一次不等式；当m+1?1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨
论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：
⑴ 当m<－1时，⊿=4（3－m）>0，图象开口向下，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。 ⑵ 当－1
⑷ 当m>3时，⊿=4（3－m）<0,图象开口向上全部在x轴的上方，不等式的解集为?。
3、不等式恒成立、不等式有解常见方法
1) 恒成立问题
（1）若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?min?A （2）若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?max?B （3）特别的，若上述的f?x?max2f?x?min取不到，则最后的参数范围需要加上“=”.
（4）有一些可以转化为恒成立问题的，比如：“函数f?x?的图像横在g?x?的图像的上方?f?x??g?x?恒成立”。
2) 能成立问题（也就是有解问题）
若在区间D上存在实数x使不等式f?x??A成立,则等价于在区间D上f?x?max?A； 若在区间D上存在实数x使不等式f?x??B成立,则等价于在区间D上的f?x?min?B.
3) 恰成立问题（相对少见）
若不等式f?x??A在区间D上恰成立, 则等价于不等式f?x??A的解集为D； 若不等式f?x??B在区间D上恰成立, 则等价于不等式f?x??B的解集为D. 以上题型和方法在函数解答题的材料中有涉及，这里就不具体展开了。
4、基本不等式 一、知识点总结
a2?b21、基本不等式原始形式:（1）若a,b?R，则a?b?2ab （2）若a,b?R，则ab?
222*2、基本不等式一般形式：若a,b?R，则a?b?2ab
a?b*?a?b? 3、基本不等式的两个重要变形：（1）若a,b?R，则?ab （2）若a,b?R，则ab???2?2?*2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当a?b时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用：若a,b?R，则
*a?ba2?b2
?ab??1122?ab1特别说明：以上不等式中，当且仅当a?b时取“=”
二、题型分析
题型：利用不等式求最值 （一）（凑项） 1、已知x?2，求函数y?2x?4?
2、已知x?
题型：巧用“1”的代换求最值问题或者两者相乘
4的最小值；
2x?45，求函数y?4x?2?1的最大值； 44x?51、已知a,b?0,a?2b?1，求t?法一：
变式：已知a,b?0,a?2b?1，求
变式：已知a,b?0,a?2b?1，求
11?的最小值； ab
法二：
11?的最小值； a?1bb1?的最小值； a?1b变式：已知a,b?0,ab?2a?1，求
变式：已知a?b?0，求
变式：已知a，b?0,a?b?2，求
21?的最小值； ba212的最小值； ??a2a?abab2b2a的最小值； ?a2?1b2?1a2?1b2?变式：已知a，b?0,a?b?2，求的最小值； ab?1
变式：已知x?y?z?0且（提示：分离参数，换元法）
变式：已知x,y?0,11n???恒成立，如果n?N，求n的最小值；（参考：4） x?yy?zx?z28??1，求xy的最小值； xy
(完整)高三一轮复习《不等式》
