受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。
2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题，满分150分。答卷时间为100分钟。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括3道大题，其中一道平面几何题，试卷满分150分。答卷时问为120分钟。
一 试
4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm，则这三个正方体的体积之和为 （ ）。
（A）764 cm或586 cm （B） 764 cm （C）586 cm或564 cm （D） 586 cm
3
3
3
3
3
3
2
?x?y?z?0,5．方程组?的有理数解(x,y,z)的个数为 （ ）。 ?xyz?z?0,?xy?yz?xz?y?0?（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
6．设?ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c成等比数列，则
sinAcotC?cosA的取值范围是（ ）。
sinBcotC?cosB5?1) 25?15?15?1（C）(,) （D）(,??)
222二、填空题（每小题9分，共54分）
（A）(0,??) （B） (0,11．设f(x)是定义在R上的函数，若f(0)?2008 ，且对任意x?R，满足 f(x?2)?f(x)?3?2x，f(x?6)?f(x)?63?2x，则f(2008)= .
12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，
则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 . 三、解答题（每小题20分，共60分）
13．已知函数f(x)?|sinx|的图像与直线y?kx (k?0)有且仅有三个交点，交点的横坐标
的最大值为?，求证：
cos?1??2． ?sin??sin3?4?14．解不等式
log2(x12?3x10?5x8?3x6?1)?1?log2(x4?1)．
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加 试
一、（本题满分50分）
如图，给定凸四边形ABCD，?B??D?180o，P是平面上的动点，令
f(P)?PA?BC?PD?CA?PC?AB．
（1）求证：当f(P)达到最小值时，P、A、B、C四点共圆；
BCAE3（2）设E是?ABC外接圆O的?，AB上一点，满足：??3?1，
AB2EC1?ECB??ECA，又DA,DC是eO的切线，AC?2，求f(P)的最小值．
2
二、（本题满分50分）
设f(x)是周期函数，T和1是f(x)的周期且0?T?1．证明： （1）若T为有理数，则存在素数p，使
答一图1
1是f(x)的周期； p（2）若T为无理数，则存在各项均为无理数的数列{an}满足1?an?an?1?0
(n?1,2,???)，且每个an
三、（本题满分50分）
(n?1,2,???)都是f(x)的周期．
设ak?0，k?1,2,L,2008．证明：当且仅当?ak?1时，存在数列{xn}满足以下条件：
k?12008（1）0?x0?xn?xn?1，n?1,2,3,L；
（2）limxn存在；
n??（3）xn?xn?1??akxn?k??ak?1xn?k，n?1,2,3,L．
k?1k?020082007
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一试解答
1. 【答案】C 【
解
析
】
当
x?2时，2?x?0，因此
1?(4?4x?x2)11?(2?x) f(x)???(2?x)?2?2?x2?x2?x?2，当且仅当1?2?x时取等号．而此方程有解x?1?(??,2)，因此f(x)在(??,2)上
2?x的最小值为2．故选C.
3.【答案】B
P(??2)?P(A1A2)?P(A1A2)?5， 9
P(??4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)211220， ?2[()3()?()3()]?333381P(??6)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)
2116?4()2()2?，
338152016266因此E??2??4??6??．故选B。
9818181
4. 【答案】A
第28讲 2008年全国高中数学联赛试题及详细解析
