4 简单计数问题
[对应学生用书P12]
有限制条件的组合问题 [例1] 2011年7月23日，甬温线发生特大铁路交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？ (2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
[思路点拨] 选取医疗专家不需要考虑顺序，因此是组合问题，解答本题应首先分清“恰有”“至少”“至多”的含义，正确的分类或分步．
[精解详析] (1)分两步：首先从4名外科专家中任选2名，有C4种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C6种选法，所以共有C4C6＝90种抽调方法．
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法， 法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类： ①选2名外科专家，共有C4C6种选法； ②选3名外科专家，共有C4C6种选法； ③选4名外科专家，共有C4C6种选法． 根据分类加法计数原理，共有 C4C6＋C4C6＋C4C6＝185种抽调方法．
法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C10种选法，若选取1名外科专家参加，有C4C6种选法；没有外科专家参加，有C6种选法，所以共有
C10－C4C6－C6＝185种抽调方法．
(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答． ①没有外科专家参加，有C6种选法； ②有1名外科专家参加，有C4C6种选法； ③有2名外科专家参加，有C4C6种选法． 所以共有C6＋C4C6＋C4C6＝115种抽调方法．
[一点通] (1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，采用分类或分步法或用间接法．
(2)要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等的确切含义，正
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确分类，合理分步．
(3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略．
1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手都必须在内，那么不同的选手共有( )
A．26 B．84 C．35
解析：从7名队员中选出3人有C7＝答案：C
2．从5名男医生，4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )
A．70种 C．100种
B．80种 D．140种
21
3
D．21
7×6×5
＝35种选法．
3×2×1
解析：可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名．∴共有C5C4＋C5C4＝70种．
答案：A
3．某医科大学的学生中，有男生12名女生8名在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队．
(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？
解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有选法C18＝816种． (2)只需从其他18人中选5 人即可，共有选法C18＝8 568种．
(3)分两类：甲、乙中只有一人参加，则有C2·C18种选法；甲、乙两人都参加，则有C18
种选法．
故共有选法C2C18＋C18＝6 936种.
几何中的组合问题 [例2] 平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线． (1)经过这9个点，可确定多少条直线？ (2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？
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(3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？ [思路点拨] 解答本题可用直接法或间接法进行． [精解详析] 法一(直接法)： 共线的4点记为A，B，C，D.
(1)第一类：A，B，C，D确定1条直线；
第二类：A，B，C，D以外的5个点可确定C5条直线；
2
(2分)
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第三类：从A，B，C，D中任取1点，其余5点中任取1点可确定C4C5条直线． (3分)
根据分类加法计数原理，共有不同直线 1＋C5＋C4C5＝1＋10＋20＝31条．(4分)
(2)第一类：从A，B，C，D中取2个点，可得C4C5个三角形； 第二类：从A，B，C，D中取1个点，可得C4C5个三角形；
第三类：从其余5个点中任取3点，可得C5个三角形．共有C4C5＋C4C5＋C5＝80个三角形．(8分)
(3)分三类：从其余5个点中任取4个，3个，2个点共得C5＋C5C4＋C5C4＝105个四边形．(12分)
法二(间接法)：
(1)可确定直线C9－C4＋1＝31条． (2)可确定三角形C9－C4＝80个． (3)可确定四边形C9－C4－C4C5＝105个．
[一点通] 利用组合知识解决与几何有关的问题，要注意：①几何图形的隐含条件：如三角形的三个顶点不共线；四边形的四个顶点中任意三点都不共线等．②根据实际情况选择直接法或间接法．③确定分类的标准，合理分类．
4．从正方体ABCD-A′B′C′D′的8个顶点中选取4个，作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数为( )
A．C8－12 C．C8－6
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B．C8－8 D．C8－4
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解析：从8个顶点中任取4个有C8种方法，其中6个面和6个对角面上的四个顶点不能作为四面体的顶点，故有(C8－12)个不同的四面体．
答案：A
5．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有________个．
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高中数学第一章计数原理4简单计数问题教学案北师大版3
