课时跟踪检测(二十一) 复数代数形式的乘除运算
层级一 学业水平达标
1.复数(1+i)(2+3i)的值为( )
B.-6-4i D.-6+4i
2
2
A.6-4i
C.6+4i
解析:选D (1+i)(2+3i)=2i(2+3i)=-6+4i.
2.(全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=( )
B.-2+i D.2+i
A.-2-i C.2-i
1+i
解析:选C z-1==1-i,所以z=2-i,故选C.
i
3.(广东高考)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则z=( )
A.2-3i B.2+3i
D.3-2i
2
C.3+2i
解析:选A ∵z=i(3-2i)=3i-2i=2+3i,∴z=2-3i.
4.(1+i)-(1-i)的值是( )
B.1 024 D.512
20
20
210
210
10
10
20
20
A.-1 024
C.0
10
解析:选C (1+i)-(1-i)=[(1+i)]-[(1-i)]=(2i)-(-2i)=(2i)
-(2i)=0.
2+ai
5.(全国卷Ⅱ)若a为实数,且=3+i,则a=( )
1+i
B.-3 D.4
解析:选D
A.-4 C.3
10
2+ai(2+ai)(1-i)a+2a-2
==+i=3+i,1+i(1+i)(1-i)22a+2
??2=3, 所以?a-2
??2=1,
解得a=4,故选D.
a
6.(天津高考)已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则的值为
b
________.
解析:因为(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,
1 / 5
又a,b∈R,所以1+b=a且1-b=0,得a=2,b=1,
a 所以=2.
b 答案:2
7.设复数z=1+2i,则z-2z=________.
解析:∵z=1+2i,
∴z-2z=z(z-2)=(1+2i)(1+2i-2)=(1+2i)(-1+2i)=-3.
答案:-3
a
8.若=1-bi,其中a,b都是实数,i是虚数单位,则|a+bi|=________.
1-i
a
解析:∵a,b∈R,且=1-bi,
1-i 则a=(1-bi)(1-i)=(1-b)-(1+b)i,
??a=1-b, ∴?
?0=1+b.?
2
2
??a=2, ∴?
?b=-1.?
∴|a+bi|=|2-i|=22+(-1)2=5.
答案:5
(i-2)(i-1)-3-2i
9.计算:+.
(1+i)(i-1)+i2-3i
解:因为
(i-2)(i-1)(i-2)(i-1)(i-2)(i-1)-3-2i
===i-1,=
(1+i)(i-1)+ii2-1+i-2+i2-3i
(-3-2i)(2+3i)-13i
==-i,
(2-3i)(2+3i)13
(i-2)(i-1)-3-2i
所以+=i-1+(-i)=-1.
(1+i)(i-1)+i2-3i
10.已知z为z的共轭复数,若z·z-3iz=1+3i,求z.
解:设z=a+bi(a,b∈R), 则z=a-bi(a,b∈R),
由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,
即a+b-3b-3ai=1+3i,
??a2+b2-3b=1, 则有?
??-3a=3,
2
2
2 / 5
??a=-1, 解得?
?b=0,?
??a=-1,
或?
?b=3.?
所以z=-1或z=-1+3i.
层级二 应试能力达标
1.如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复
数的点是( )
B.B D.D
A.A
C.C
解析:选B 设z=a+bi(a,b∈R),且a<0,b>0,则z的共轭复数为a-bi,其中
a<0,-b<0,故应为B点.
1+ai
2.设a是实数,且∈R,则实数a=( )
1+i
B.1 D.-2
解析:选B 因为
A.-1 C.2
1+ai1+ai
∈R,所以不妨设=x,x∈R,则1+ai=(1+i)x=x+1+i1+i
??x=1,
xi,所以有?
?a=x,?
所以a=1.
3.若a为正实数,i为虚数单位,?
B.3 D.1
?a+i?=2,则a=( )??i?
A.2 C.2
a+i?a+i?=|1-ai|=1+a2=2,解得
解析:选B ∵=(a+i)(-i)=1-ai,∴??i?i?
a=3或a=-3(舍).
(-1+3i)3-2+i
4.计算+的值是( )
(1+i)61+2i B.1 D.2i
A.0 C.i
(-1+3i)3(-2+i)(1-2i)(-1+3i)3-2+4i+i+2
解析:选D 原式=+=+
[(1+i)2]3(1+2i)(1-2i)(2i)35
13
-+i3221i =+i=+i=+i=2i.
-i-i(-i)i
z1
5.若z1=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数,则实数a的值为________.
z2
3 / 5
z1a+2i(a+2i)(3+4i)3a+4ai+6i-8
解析:===z23-4i9+1625
=
(3a-8)+(4a+6)i
,
25
∵
z1
为纯虚数,z2
?3a-8=0,? ∴?
??4a+6≠0,
8
∴a=.38
答案:
3
6.设复数z满足z=3+4i(i是虚数单位),则z的模为________.
解析:设z=a+bi(a,b∈R), 则z=a-b+2abi=3+4i,
?a2-b2=3,? ∴?
??2ab=4,
?a=2,?
解得?
??b=1
2
2
2
2
?a=-2,?
或???b=-1.
∴|z|=a2+b2=5.
答案:5
(1+i)2+3(1-i)a2
7.设复数z=,若z+<0,求纯虚数a.
2+iz
aa22
解:由z+<0可知z+是实数且为负数.zz(1+i)2+3(1-i)2i+3-3i3-i
z====1-i.
2+i2+i2+i ∵a为纯虚数,∴设a=mi(m∈R且m≠0),则
amimi-m22 z+=(1-i)+=-2i+
z1-i2
m?m?
=-+?-2?i<0,
2?2?m
-<0,??2 ∴?m
??2-2=0,
∴m=4,∴a=4i.
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(1+i)3(a+bi)
8.复数z=且|z|=4,z对应的点在第一象限,若复数0,z,z对应
1-i
的点是正三角形的三个顶点,求实数a,b的值.
(1+i)2·(1+i)
解:z=(a+bi)
1-i =2i·i(a+bi)=-2a-2bi. 由|z|=4,得a+b=4,①
∵复数0,z,z对应的点构成正三角形,
∴|z-z|=|z|.
把z=-2a-2bi代入化简得|b|=1.②
又∵z对应的点在第一象限,
∴a<0,b<0.
2
2
?a=-3,
由①②得?
?b=-1.
故所求值为a=-3,b=-1.
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