课时跟踪检测（二十一） 复数代数形式的乘除运算
层级一 学业水平达标
1．复数(1＋i)(2＋3i)的值为( )
B．－6－4i D．－6＋4i
2
2
A．6－4i
C．6＋4i
解析：选D (1＋i)(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.
2．(全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝( )
B．－2＋i D．2＋i
A．－2－i C．2－i
1＋i
解析：选C z－1＝＝1－i，所以z＝2－i，故选C.
i
3．(广东高考)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝( )
A．2－3i B．2＋3i
D．3－2i
2
C．3＋2i
解析：选A ∵z＝i(3－2i)＝3i－2i＝2＋3i，∴z＝2－3i.
4．(1＋i)－(1－i)的值是( )
B．1 024 D．512
20
20
210
210
10
10
20
20
A．－1 024
C．0
10
解析：选C (1＋i)－(1－i)＝[(1＋i)]－[(1－i)]＝(2i)－(－2i)＝(2i)
－(2i)＝0.
2＋ai
5．(全国卷Ⅱ)若a为实数，且＝3＋i，则a＝( )
1＋i
B．－3 D．4
解析：选D
A．－4 C．3
10
2＋ai(2＋ai)(1－i)a＋2a－2
＝＝＋i＝3＋i，1＋i(1＋i)(1－i)22a＋2
??2＝3， 所以?a－2
??2＝1，
解得a＝4，故选D.
a
6．(天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为
b
________．
解析：因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，
1 / 5
又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，
a 所以＝2.
b 答案：2
7．设复数z＝1＋2i，则z－2z＝________.
解析：∵z＝1＋2i，
∴z－2z＝z(z－2)＝(1＋2i)(1＋2i－2)＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3.
答案：－3
a
8．若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________.
1－i
a
解析：∵a，b∈R，且＝1－bi，
1－i 则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，
??a＝1－b， ∴?
?0＝1＋b.?
2
2
??a＝2， ∴?
?b＝－1.?
∴|a＋bi|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝5.
答案：5
(i－2)(i－1)－3－2i
9．计算：＋.
(1＋i)(i－1)＋i2－3i
解：因为
(i－2)(i－1)(i－2)(i－1)(i－2)(i－1)－3－2i
＝＝＝i－1，＝
(1＋i)(i－1)＋ii2－1＋i－2＋i2－3i
(－3－2i)(2＋3i)－13i
＝＝－i，
(2－3i)(2＋3i)13
(i－2)(i－1)－3－2i
所以＋＝i－1＋(－i)＝－1.
(1＋i)(i－1)＋i2－3i
10．已知z为z的共轭复数，若z·z－3iz＝1＋3i，求z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则z＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a＋b－3b－3ai＝1＋3i，
??a2＋b2－3b＝1， 则有?
??－3a＝3，
2
2
2 / 5
??a＝－1， 解得?
?b＝0，?
??a＝－1，
或?
?b＝3.?
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
层级二 应试能力达标
1．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复
数的点是( )
B．B D．D
A．A
C．C
解析：选B 设z＝a＋bi(a，b∈R)，且a＜0，b＞0，则z的共轭复数为a－bi，其中
a＜0，－b＜0，故应为B点．
1＋ai
2．设a是实数，且∈R，则实数a＝( )
1＋i
B．1 D．－2
解析：选B 因为
A．－1 C．2
1＋ai1＋ai
∈R，所以不妨设＝x，x∈R，则1＋ai＝(1＋i)x＝x＋1＋i1＋i
??x＝1，
xi，所以有?
?a＝x，?
所以a＝1.
3．若a为正实数，i为虚数单位，?
B.3 D．1
?a＋i?＝2，则a＝( )??i?
A．2 C.2
a＋i?a＋i?＝|1－ai|＝1＋a2＝2，解得
解析：选B ∵＝(a＋i)(－i)＝1－ai，∴??i?i?
a＝3或a＝－3(舍)．
(－1＋3i)3－2＋i
4．计算＋的值是( )
(1＋i)61＋2i B．1 D．2i
A．0 C．i
(－1＋3i)3(－2＋i)(1－2i)(－1＋3i)3－2＋4i＋i＋2
解析：选D 原式＝＋＝＋
[(1＋i)2]3(1＋2i)(1－2i)(2i)35
13
－＋i3221i ＝＋i＝＋i＝＋i＝2i.
－i－i(－i)i
z1
5．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
z2
3 / 5
z1a＋2i(a＋2i)(3＋4i)3a＋4ai＋6i－8
解析：＝＝＝z23－4i9＋1625
＝
(3a－8)＋(4a＋6)i
，
25
∵
z1
为纯虚数，z2
?3a－8＝0，? ∴?
??4a＋6≠0，
8
∴a＝.38
答案：
3
6．设复数z满足z＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则z＝a－b＋2abi＝3＋4i，
?a2－b2＝3，? ∴?
??2ab＝4，
?a＝2，?
解得?
??b＝1
2
2
2
2
?a＝－2，?
或???b＝－1.
∴|z|＝a2＋b2＝5.
答案：5
(1＋i)2＋3(1－i)a2
7．设复数z＝，若z＋＜0，求纯虚数a.
2＋iz
aa22
解：由z＋＜0可知z＋是实数且为负数．zz(1＋i)2＋3(1－i)2i＋3－3i3－i
z＝＝＝＝1－i.
2＋i2＋i2＋i ∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m∈R且m≠0)，则
amimi－m22 z＋＝(1－i)＋＝－2i＋
z1－i2
m?m?
＝－＋?－2?i＜0，
2?2?m
－＜0，??2 ∴?m
??2－2＝0，
∴m＝4，∴a＝4i.
4 / 5
(1＋i)3(a＋bi)
8．复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，z对应
1－i
的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．
(1＋i)2·(1＋i)
解：z＝(a＋bi)
1－i ＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi. 由|z|＝4，得a＋b＝4，①
∵复数0，z，z对应的点构成正三角形，
∴|z－z|＝|z|.
把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.②
又∵z对应的点在第一象限，
∴a＜0，b＜0.
2
2
?a＝－3，
由①②得?
?b＝－1.
故所求值为a＝－3，b＝－1.
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高中数学课时跟踪检测(二十一)复数代数形式的乘除运算新人教A版选修2-2
