（2）众数为5棵，中位数为5棵 （3）==5.3（棵）．
估计260名学生共植树5.3×260=1378（棵）．
24．请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及的值． 小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值； （2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明； （3）若图1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含α的式子表示）．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义． 【分析】（1）根据题意可知小聪的思路为，通过判定三角形DHP和PGF为全等三角形来得出证明三角形HCG为等腰三角形且P为底边中点的条件；
（2）思路同上，延长GP交AD于点H，连接CH，CG，本题中除了如（1）中证明△GFP≌△HDP（得到P是HG中点）外还需证明△HDC≌△GBC（得出三角形CHG是等腰三角形）．
（3）∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），那么∠PCG=90°﹣α，由（1）可知：PG：PC=tan（90°﹣α）． 【解答】解：（1）∵CD∥GF，∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，DP=PF， ∴△DPH≌△FGP， ∴PH=PG，DH=GF，
∵CD=BC，GF=GB=DH， ∴CH=CG，
∴CP⊥HG，∠ABC=60°， ∴∠DCG=120°， ∴∠PCG=60°，
∴PG：PC=tan60°=，
∴线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC， =；
（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．
证明：如图2，延长GP交AD于点H，连接CH， ∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP， ∵AD∥GF，
∴∠HDP=∠GFP， ∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP（ASA）， ∴GP=HP，GF=HD， ∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°，
∵∠ABC=∠BEF=60°，菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，
∴∠GBF=60°， ∴∠HDC=∠GBF，
∵四边形BEFG是菱形， ∴GF=GB， ∴HD=GB，
∴△HDC≌△GBC，
∴CH=CG，∠HCD=∠GCB
∴PG⊥PC（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上） ∵∠ABC=60°
∴∠DCB=∠HCD+∠HCB=120° ∵∠HCG=∠HCB+∠GCB ∴∠HCG=120° ∴∠GCP=60°
∴=tan∠GCP=tan60°=；
（3）∵∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°）， ∴∠PCG=90°﹣α，
由（1）可知：PG：PC=tan（90°﹣α）， ∴=tan（90°﹣α）．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0），C（8，0），D（8，8），抛物线y=ax2+bx过A，C两点，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式．
（2）过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G，当t为何值时，△AGC的面积最大？最大值为多少？
（3）连接EQ，在点P，Q运动的过程中，是否存在某个时刻，使得以C，E，Q为顶点的△CEQ为等腰三角形？如果存在，请直接写出相应的t值；如果不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）由于四边形ABCD为矩形，所以A点与D点纵坐标相同，A点与B点横坐标相同；
（2）根据相似三角形的性质，可得PE、PB的长，可得E点坐标，根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得GE的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
EC=CQ，EQ=EC（3）若构成等腰三角形，则三条边中有两条边相等即可，于是可分EQ=QC，
三种情况讨论．若有两种情况时间相同，则三边长度相同，为等腰三角形． 【解答】解：（1）因为点B的横坐标为4，点D的纵坐标为8，AD∥x轴，AB∥y轴，所以点A的坐标为（4，8）． 将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx得， 解得．
故抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x；
（2）∵PE∥BC，∴△APE∽△ABC， =，即=，PE=AP=t，PB=8﹣t， E（4+t，8﹣t），G点的坐标为（4+t，﹣t2+8）， GE=（﹣t2+8）﹣（8﹣t）=﹣t2+t， S△AGC=GE?（xC﹣xA）=（﹣t2+t）（8﹣4）=﹣（t﹣4）2+4， 当t=4时，△AGC的面积最大，最大值为4； （3）①当EQ=QC时，∵Q（8，t），E（4+t，8﹣t），QC=t， 所以根据两点间距离公式，得： （t﹣4）2+（8﹣2t）2=t2． 整理得13t2﹣144t+320=0，
解得t=或t==8（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）． ②当EC=CQ时， 因为E（4+t，8﹣t），C（8，0），QC=t， 所以根据两点间距离公式，得： （4+t﹣8）2+（8﹣t）2=t2．
整理得t2﹣80t+320=0，t=40﹣16，t=40+16＞8（此时Q不在矩形的边上，舍去）． ③当EQ=EC时， 因为Q（8，t），E（4+t，8﹣t），C（8，0）， 所以根据两点间距离公式，得：（t﹣4）2+（8﹣2t）2=（4+t﹣8）2+（8﹣t）2， 解得t=0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或t=． 于是t1=，t2=，t3=40﹣16．
2024年8月27日
广东省中山市2024年中考数学一模试题有答案精析
