专题16 二次函数
一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念
一般地，如果y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x 的二次函数。
2y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于x??b对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线y?ax?bx?c与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
2(1)一般式：y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0) (2)顶点式：y?a(x?h)?k(a,h,k是常数，a?0)
2(3)当抛物线y?ax?bx?c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax?bx?c?0有实根x1和x2存
222在时，根据二次三项式的分解因式ax?bx?c?a(x?x1)(x?x2)，二次函数y?ax?bx?c可转化为两根式y?a(x?x1)(x?x2)。如果没有交点，则不能这样表示。 三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当x??22b时，2ay最值4ac?b2?。
4a如果自变量的取值范围是x1?x?x2，那么，首先要看?b是否在自变量取值范围x1?x?x2内，2a4ac?b2b若在此范围内，则当x=?时，y最值?；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1?x?x2范围
4a2a2内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x?x2时，y最大?ax2?bx2?c，当x?x1时，
y最小?ax12?bx1?c；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x?x1时，y最大?ax12?bx1?c，当
2?bx2?c。 x?x2时，y最小?ax2
四、二次函数的性质 1、二次函数的性质 函数 二次函数 y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0) a>0 y 图像 0 x (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸； y 0 x (1)抛物线开口向下，并向下无限延伸； a<0 bb(2)对称轴是x=?，顶点坐标是(?，bb(2)对称轴是x=?，顶点坐标是(?，2a2a2a2a4ac?b22)； 4ac?b)； 4a4ab(3)在对称轴的左侧，即当x?b?x>时，y随x的增大而减小，简记左2a2a时，y随x的增大而增大，简记左减右增； b(4)抛物线有最低点，当x=?时，y有最小值，b?(4)抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，2a2a4ac?b2y最小值? 4ac?b2y最大值? 4a4a2、二次函数y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)中，a、b、c的含义：
2增右减； a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上 a<0时，抛物线开口向下
b b与对称轴有关：对称轴为x=?2ac表示抛物线与y轴的交点坐标：(0，c)
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的??b?4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
2当?>0时，图像与x轴有两个交点； 当?=0时，图像与x轴有一个交点；
当?<0时，图像与x轴没有交点。 补充：
1、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法) 如图：点A坐标为(x1，y1)点B坐标为(x2，y2) 则AB间的距离，即线段AB的长度为
?x1?x2?2??y1?y2?2
2、函数平移规律 左加右减、上加下减
【例1】(2018?上海)下列对二次函数y?x2?x的图象的描述，正确的是( ) A．开口向下 C．经过原点
B．对称轴是y轴
D．在对称轴右侧部分是下降的
【分析】A、由a?1?0，可得出抛物线开口向上，选项A不正确；
B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x?1，选项B不正确； 2C、代入x?0求出y值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确；
D、由a?1?0及抛物线对称轴为直线x?增大，选项D不正确． 综上即可得出结论．
11，利用二次函数的性质，可得出当x?时，y随x值的增大而22【解答】解：A、Qa?1?0，
?抛物线开口向上，选项A不正确；
B、Q?b1?， 2a21，选项B不正确； 2?抛物线的对称轴为直线x?C、当x?0时，y?x2?x?0，
?抛物线经过原点，选项C正确；
D、Qa?0，抛物线的对称轴为直线x??当x?1， 21时，y随x值的增大而增大，选项D不正确． 2故选：C．
【例2】(2019?上海)在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y?x2?2x，其顶点为A． (1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况； (2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”． ①试求抛物线y?x2?2x的“不动点”的坐标；
②平移抛物线y?x2?2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．
【分析】(1)Qa?1?0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为(1,?1)；
(2)①设抛物线“不动点”坐标为(t,t)，则t?t2?2t，即可求解；②新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B(m,m)，则新抛物线的对称轴为：x?m，与x轴的交点C(m,0)，四边形OABC是梯形，则直线x?m在y轴左侧，而点A(1,?1)，点B(m,m)，则m??1，即可求解．
2020年中考数学一轮复习讲义(上海专版) 专题16 二次函数(解析版)
