复数的几何意义
『教材重点』：1.复数的相等，复数与实数以及虚数的关系，
复数的几何意义；
2 ?复数的加减、乘除运算法则，以及复数加法、减法的几何意义；3 ?体会数学 思想方法一类比
法.
『教材难点』：复数的几何意义，复数加法以及复数减法的几何意义，复数的除 法. 『复习过程指导』
在复习本章时，我们重点从数学思想方法上勾通知识的内在联系：
(1)复数与实
数、有理数的联系；(2 )复数的代数形式的加法、减法运算与平面向量的加法、减 法运算的联系；(3)复数的代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式的加法、减 法、乘法运算的联系.
在知识上，在学法上，在思想方法上要使知识形成网络，以增强记忆，培养自 己的数学逻辑思维能力?其数学思想方法(类比法、化一般为特殊法)网络如下：
1数学思想方法之一：类比法
(1)复数的运算
复数代数形式的加法、减法运算法则
(a bi) _(c di) =(a _c) (b _d)i 复数代数形式的乘法运算运算法则：
(a bi )(c di) = (ac _ bd) (ad bc)i
显然在运算法则上类似于多项式的加减法(合并同类项) 就给我们对复数的运算以及记忆带来了极大的方便.
(2 )复数的几何意义
我们知道，实数与数轴上的点一一对应的；
一对应；类似的我们有：
复数集 C=「a，bi|a,b?R与坐标系中的点集 应?于是：
复数集z = a ? bi I复平面内的点Z(a,b)
有序实数对与直角坐标平面内的点一
，以及多项式的乘法，这
Qa,b) |a R,b R 一一对
复数集z = a ? bi
平面向量OZ
例1 （2005高考浙江4） .在复平面内， 复数
i — 2
1 i + (1 + . 3i)对应的点
位于（）
（A）第一象限
解答：复数i
3
（B
第二象限 (C) 第三象限（D）第四象限 1 2、. 3i -3
+ (1 + =3 i): 1 +i 1 +i 2
— 2
=— （— 2、. 3）i
2 2 3 — _
（? 2 ?. 3）i对应着直角坐标平面内的点 2 2 2 2
3 1
（- ， 2、3）,
因为复数-
故在第二象限，答案为
B.
另一方面考察了对复数的几何意义的
此题一方面考查了复数的运算能力， 理解.
—I —I
例2?非零复数z—,z2分别对应复平面内向量
OA,OB，若|乙z2 | =| z^ - Z2 |
则向量
OA 与 OB 的关系必有
)
C
解答： 由向量的加法及减法可知:
OA_OB
D . OAOB共线
OC = OA OB
AB =
-OA
由复数加法以及减法的几何意义可知:
| Z z2 |对应0C的模 | Z - z21对应AB的模
又因为|z— ? Z2 I = I z -Z2 I，且非零复数 z—, z2分别对应复平面内向量
――I
OA,OB
所以四边形 OACB是正方形 因此OA = OB，故答案选B.
注：此题主要考察了复数加法以及减法的几何意义 （3）复数的化简
虚数除法运算的分母“实数化”，类似的有实数运算的分母“有理化”
m +3i
例3 （ 2005高考天津卷理⑵）若复数
.
（a � R, i为虚数单位）是纯虚数,
则实数a的值为
(A) -2
解答：由
a 3i 1 2i a 6 =
5
(B)4 (C) -6 (D)6
(a 3i)(1 -2i) a 6 (3 -2a)i
(1 2i)(1 —2i) 12 22
3「2a.
i 5
a
+3i
因为复数 是纯虚数
1 +2i a 6 小 口 3 -2a 所以 0且
5 5 解得a = -6 故答案选C.
注：这里在复数的化简中主要用了一对共轭复数的积是实数
a+6 +
5
3
0
这也是一个复数与实数转化的过程，即 (1 —2i)(1 2i) = 5, 一般地(a bi)( a b )= a b
_
2a
j是纯虚数可得: 5
2 2
=0且匕空\，
2?数学思想方法之
转化法
运算；类似地，有关虚数的运算要转化为
我们知道在运算上，高 次方程要转化为低次方程，多元方程要转化为一元方程 进行运算；实数的运算要转化为有理数的 实数的运算.
实数a(b =0)
基础知识：复数
a +bi * 纯虚数bi (a =0)
虚数a bi(b = 0)
”，亠上町
i非纯虚数a + bi( a H 0)
例4 （2005高考北京卷（9））若 z=a+2i, z2=3 —4i，且旦为纯虚数，则
Z2
实数a的值为
解答:
乙=a+2i (a+2i)(3+4i) z2
3-4i 一 32 42
25
因为互为纯虚数
Z2 3a _ 8 所以
25
0且
25 6 4a
0 .解得a二
3
a +b
例5. (2005高考，吉林、黑龙江、广西(5))设a、b、C、R，若 -
c +d
3a -8 6 4a.
i 25
8
为实数，则，
(A) bc ad = 0 ( B) be - ad = 0 (C) be - ad = 0 (D) be ad = 0
解答：
出 a bi ac bd be -ad . 1由 2 2 2
e di e d e d 因为
a bi
2 i
为实数，
e +di
b
所以其虚部； 一雪=0 ,即be ad =0
e +d
这里先把分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式. 类似于以前所学的实数化简时 的把分母“有理化” ?再把它转化为实数的运算.
二.解题规律总结
1有关虚数单位i的运算及拓展
虚数i的乘方及其规律：
5
?1 2
i =1 , i
4n 1
4n 池
4n 3
??4n
i3 = _i
6 7 8
i i,i 1,i i,i 1, i = 1,1 =-1,1
一|,| =1,(
拓展（1）任何相邻四个数的和为0;
（2）指数成等差的四个数的和为0; 例如：i2n；.i2n「i2n1 .严=0
（3）连续多个数相加的规律.
例 6.求 i10 - i11 ■ i12 ■ , i2006 的值 解答：共有2006— 10+ 1 = 1 997项
由于 1997= 4 499 + 1
由于连续4个的和等于 因此原式=i10 =— 1
2 .有关复数的几个常用化简式
(1 i)2 =2i,(1 - i)2= 「2i ,
例7 （2005高考重庆 2 ) “1 +i、
2005
1 -i
).(1—i)
2 2005
A i B.— i
C. 2 2005
2005
D.
解答：(1
'i )
1 -i
=i200^(i4)50^] =i
故答案选A
3.有关复数的综合运算
例7 （ 2005高考上海 18 ）、（本题满分12分）在复数范围内解方程
3 - i
| z |2 （z z）i
2 +i
解法一.设 z = a ? bi (a, b ? R)，贝U z = a -bi
（i为虚数单位）
人教B版选修(2-2)3.1.3《复数的几何意义》word练习题2
