提分专练(七) 切线的证明
|类型1| 见切点,连半径,证垂直
(1)利用等角代换判定
1.[2019·镇江]如图T7-1,在△ABC中,AB=AC,过AC延长线上的点O作OD⊥AO,交BC的延长线于点D,以O为圆心,OD长为半径的圆过点B. (1)求证:直线AB与☉O相切;
(2)若AB=5,☉O的半径为12,则tan∠BDO= .
图T7-1
2.[2019·黄石]如图T7-2,AB是☉O的直径,点D在AB的延长线上,C,E是☉O上的两点,CE=CB,∠BCD=∠CAE,延长AE交BC的延长线于点F. (1)求证:CD是☉O的切线; (2)求证:CE=CF;
(3)若BD=1,CD=√2,求弦AC的长.
图T7-2
(2)利用平行线判定
?的中点,过点D作DE∥AC,交BC的3.[2019·泰州]如图T7-3,四边形ABCD内接于☉O,AC为☉O的直径,D为????延长线于点E.
(1)判断DE与☉O的位置关系,并说明理由; (2)若☉O的半径为5,AB=8,求CE的长.
图T7-3
4.[2019·赤峰]如图T7-4,AB为☉O的直径,C,D是半圆AB的三等分点,过点C作AD延长线的垂线CE,垂足为E.
(1)求证:CE是☉O的切线;
(2)若☉O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
图T7-4
(3)利用三角形全等或相似判定
5.[2019·郴州]如图T7-5,已知AB是☉O的直径,CD与☉O相切于点D,且AD∥OC. (1)求证:BC是☉O的切线;
?的长.(结果保留π) (2)延长CO交☉O于点E.若∠CEB=30°,☉O的半径为2,求????
图T7-5
|类型2| 无切点,作垂直,证半径
利用角平分线性质
6.如图T7-6,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AB于点E,以点O为圆心,OE为半径作半圆,交AO于点F.
(1)求证:AC是☉O的切线;
(2)若点F是AO的中点,OE=3,求图中阴影部分的面积;
(3)在(2)的条件下,点P是BC边上的动点,当PE+PF取最小值时,直接写出BP的长.
图T7-6
【参考答案】
1.解:(1)证明:连接OB,如图所示.
∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB. ∵∠ACB=∠OCD, ∴∠ABC=∠OCD. ∵OD⊥AO, ∴∠COD=90°, ∴∠D+∠OCD=90°. ∵OB=OD, ∴∠OBD=∠D,
∴∠OBD+∠ABC=90°,即∠ABO=90°, ∴AB⊥OB, ∵点B在☉O上, ∴直线AB与☉O相切. (2)∵∠ABO=90°,
∴OA=√????2+????2=√52+122=13, ∵AC=AB=5, ∴OC=OA-AC=8, ∴tan∠BDO=????2
????
=
812
=3
.
故答案为:2
3.
2.解:(1)证明:连接OC,
∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠CAD+∠ABC=90°, ∵CE=CB, ∴∠CAE=∠CAB, ∵∠BCD=∠CAE, ∴∠CAB=∠BCD,
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB, ∴∠OCB+∠BCD=90°,∴∠OCD=90°, ∵OC是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.
(2)证明:∵∠BAC=∠CAE,AC=AC,∠ACB=∠ACF=90°, ∴△ABC≌△AFC(ASA),∴CB=CF, 又∵CB=CE,∴CE=CF.
(3)∵∠BCD=∠CAD,∠ADC=∠CDB, ∴△ACD∽△CBD,∴∴1=
√2????√2????????
=
????????
=
????????
,
, ∴AD=2,
∴AB=AD-BD=2-1=1, 设BC=a,则AC=√2a,
在Rt△ABC中,由勾股定理可得:a2+(√2a)2=12, 解得:a=3(负值已舍),∴AC=3. 3.解:(1)DE与☉O相切,理由如下: ?的中点,∴?????=?????, 连接OD,∵D为????∴AD=DC,
∵AO=OC,∴OD⊥AC, ∴∠AOD=∠COD=90°,
又∵DE∥AC,∴∠EDO=∠AOD=90°, ∴OD⊥DE,∴DE与☉O相切.
√3√6
2020年中考数学复习提分专练(07)切线的证明（含答案）
