第七章 无穷级数【数学1要求，3傅里叶系数之前内容要求】
2013考试内容
常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与p级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 交错级数与莱布尼茨定理 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 函数项级数的收敛域与和函数的概念 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式 函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数 狄利克雷（Dirichlet）定理 函数在[－l，l]上的傅里叶级数 函数在[0，l]上的正弦级数和余弦级数 2013考试要求
1.
理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。
掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 了觖函数项级数的收敛域及和函数的概念。
理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。
9.
了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
x10. 掌握e,sinx,cosx,ln(1?x)及(1?x)?的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一第 276 页
些简单函数间接展开为幂级数。
11. 了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[0，l]上的函数展开为正
弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 一、三基层面及其拓展
1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：Sn?lim?uk存在，称级数收敛。
n??k?1?2. 级数的本质：级数就是限项求和，记为?un?u1?u2?L?un?L，虽然在形式上是
n?1?用加法依次连成，但在意义上与有限项求和形式?un?u1?u2?L?um完全不同。
n?1m 从有限到无限发生了本质的变化，如级数一般不满足结合律（可任意加括号）和交换律（可任意变换相加顺序），只有当级数收敛时才满足结合律，当级数绝对数收敛时才满足交换律。所以，无穷级数不能看成是有限项相加，?un?u1?u2?L?un?Ln?1?只是形式上的记号而已。
无穷级数的特征就是收敛性，收敛性的定义就是部分和极限存在，只有在收敛时，才能讨论无穷级数的性质。研考数学需要掌握的级数对象分为三类：常数项级数（正项、负项、交错和任意项），函数项级数（只要求掌握幂级数），傅里叶级数。研究常数项级数首先是研究正项级数（又称不变号级数，因为正项级数的全部收敛性质也代表负项级数）分为收敛和发散两种；任意项级数（又称变号级数，包含交错级数）如分为绝对收敛与发散，条件收敛与发散两组，若任意项级数?un收敛，?un发散，
n?1n?1??则称?un条件收敛，若?un收敛，则称级数?un绝对收敛，绝对收敛的级数一定条
n?1n?1n?1?????1?件收敛。任意项级数（如?）加上绝对值后就是正项级数，交错级数（如nn???2?n?2?n第 277 页
??1?）是任意项级数的特例，故判别它们的收敛性，就必须首先考虑其绝对收敛??n?2nn性，这时，所有正项级数的判敛法都能使用。如果任意项级数不绝对收敛，原级数不一定发散，需要用其他方法判别，如对交错级数使用莱布尼茨定理判敛。而其它不绝对收敛的任意项级数类型一般使用拆项法或定义法，更复杂的类型不是考研数学的大纲范畴，。级数收敛时，去掉有限个项不影响其收敛性，如去掉奇次项或偶次项（无限次），则会影响收敛性，如an?(?1)n，则?an收，?a2n发，。
3. 任何级数收敛的必要条件是limun?0
n??1n这是因为部分和 Sn??uk?limSn??uk?S
k?1?n??k?1n?4．若有两个级数?un和?vn，?un?s,?vn??
n?1n?1n?1n?1?????????则 ①?(un?vn)?s??，??un????vn??s??。
n?1?n?1??n?1?? ②?un收敛，?vn发散，则?(un?vn)发散。
n?1n?1n?1??? ③若二者都发散，则?(un?vn)不确定，如?1, ???1?发散，而??1?1??0收敛。
n?1k?1k?1k?1????【例1】已知级数???1?n?1?n?1an?2, ?a2n?1?5, 求?an。
n?1n?1??解：
5．三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数：
?a,收敛，r?1?na) 等比级数：?ar??1?r n?0?发散，r?1??1?收敛，p?1b) P级数： ?p?? n发散，p?1n?1??第 278 页
c) 对数级数： ?6．斯特定公式：
?收敛，p?11? ?pnlnnn?2?发散，p?1?n!ene【例2】 limn?limn??nn??nn?n2?n?e?e12n?lim2?n??? nn??nn?n7．下面三个重要结论及其证明方法具有代表性，请读者反复历练。
?①?(an?an?1)收敛?liman存在 n?1n??证明：
2②正项（不变号）级数?an收??an收，反之不成立，如果不是不变号级数，则无此结论。 证明：
③?a和?b都收敛??anbn收，?2n2nanb 或 ?n收 nn证明：
?1?【例3】设an?0，?an?单调递减，???1?an发散，试证明：???收敛。
a?1n?1n?1?n??n?n证明：因为an?0，?an?单调递减，则liman必存在，设liman?A，
n??n??a?0?A?0（否则，由莱布尼茨定理 由于???1?an发散，可推出liman?A?0???n?nn?1n??判定???1?an必收敛。）
n?1?n 又， liman?A?0, ?an?单调递减??N?0,使当n?N时，有an?A，
n???a11【例4】 设a1?2, an?1?(an?) 证明： ①liman? ②?(n?1)收
n??2ann?1an?1第 279 页
证明：① 如liman? 则 a?(a?)?a?1
n??121a 有界性： 而an?1?1?(an?单调性： an?1?an?(an?121211)?1?(an?1)2?0?an?1?1 即{an}有下界1； an2an11)?an?(1?an2)?0 故{an}单调不增 an2ann?? 由单调有界性定理?liman? 且liman?1
n??②由于an?1?ana?an?1?1?n?an?an?1 an?1an?1? 根据重要结论1： liman???(an?an?1) 收敛，
n??n?1?ana?a?1)??nn?1收敛。 由比较法知 ?(an?1n?1an?1n?1????【例5】设?bn收敛正项，?(an?an?1)收敛，试讨论?anbn的敛散性。
n?1n?1n?1 解： 不知道?an是正项还是正负相间的交错级数？或是正负任意项级数，所以
n?1?应首先讨论其绝对收敛性。
因为?(an?an?1)收敛，根据重要结论1： liman?，则an有界，不妨设an?M
n?1?n?? 则anbn?Mbn (Qbn?0)??anbn绝对收敛。
n?1?8．常用收敛快慢
正整数 lnn?n?(??0)?an(a?1)?n!?nn 由慢到快 连续型 lnx?x?(??0)?ax(a?1)?xx 由慢到快
an例如根据上面的规律可以快速判断 limn?0等等。
n??n二、正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧
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