（整理）天一专升本高数知识点

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第一讲 函数、极限、连续

1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数： 偶函数：

f(?x)??f(x)，图像关于原点对称。 f(?x)?f(x)，图像关于y轴对称

3、无穷小量、无穷大量、阶的比较

设α，β是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则

α （1）若lim?0，则α是比β高阶的无穷小量。

β（2）若limα，则α与β是同阶无穷小量 ?c（不为0）

βα 特别地，若lim?1，则α与β是等价无穷小量

β（3）若limα??，则α与β是低阶无穷小量 β 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限 （1）limsinxx?lim?1

x?0x?0xsinxsin? 使用方法：拼凑lim???0x??limsin???0 ，一定保证拼凑sin后面和分母保持一致 ?????0??1?1? （2）lim?1???lim(1?x)x?e

x??x?0x??

???0lim(1???)???e

1 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。

?a0?,n?mbPn?x??0??0,n?m 5、limx??Q?X???,n?mm??精品文档

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Pn?x?的最高次幂是n,Qm?x?的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度

快。n?m,以相同的比例趋向于无穷大；n?m，分母以更快的速度趋向于无穷大；n?m，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限

左极限：lim?x?x0f(x)?A f(x)?A

x?x0?x?x0?右极限：lim?x?x0limf(x)?A充分必要条件是limf(x)?limf(x)?A x?x0注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义：

?f(x0??x)?f(x0)??0 lim?y?lim?x?0?x?0或limx?x0f(x)?f(x0)

x?x0 间断：使得连续定义limf(x)?f(x0)无法成立的三种情况

?f(x)不存在，f(x)无意义00?? limf(x)不存在?x?x?limf(x)?f(x0)?x?x?00 记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等

9、间断点类型

（1）、第二类间断点：lim?x?x0f(x)、limf(x)至少有一个不存在

x?x0? （2）、第一类间断点：lim?x?x0f(x)、limf(x)都存在

x?x0???limf(x)?limf(x)??可去间断点：x?xx?x ?跳跃间断点：limf(x)?limf(x)?x?xx?x?000?0? 注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第

一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃” 10、闭区间上连续函数的性质

（1） 最值定理：如果（2）

f(x)在?a,b?上连续，则f(x)在?a,b?上必有最大值最小值。

内至少存在一点

?零点定理：如果f(x)在?a,b?上连续，且f(a)?f(b)?0，则f(x)在?a,b??，使得f(?)?0

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第三讲 中值定理及导数的应用

1、 罗尔定理

如果函数y?

?f(x)满足：（1）在闭区间?a,b?上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）f(a)?f(b)，

f?(?)?0

则在(a,b)内至少存在一点?，使得记忆方法：脑海里记着一幅图：

2、 拉格朗日定理

如果ya b ?f(x)满足（1）在闭区间?a,b?上连续

（2）在开区间（a,b）内可导； 则在(a,b)内至少存在一点?，使得脑海里记着一幅图：

f?(?)?f(b)?f(a)

b?aa b ?f(x)在闭区间?a,b?上连续，在开区间（a,b）内可导，且f?(x)?0，那么

（*）推论1 ：如果函数y在(a,b)内

f(x)=C恒为常数。

f(x),g(x)在?a,b?上连续，在开区间(a,b)内可导，且f?(x)?g?(x),x?(a,b)，

记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。 （*）推论2：如果

那么

f(x)?g(x)?c

记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等

3、 驻点 精品文档

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满足

f?(x)?0的点，称为函数f(x)的驻点。

几何意义：切线斜率为0的点，过此点切线为水平线 4、极值的概念

设

f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点

x,有

f(x)?f(x0)，则称f(x0)为函数

f(x)的极大值，x0称为极大值点。

设

f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点

x,有

f(x)?f(x0)，则称f(x0)为函数

f(x)的极小值，x0称为极小值点。

记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。 5、 拐点的概念

连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。

注y?是拐点

6、 单调性的判定定理

设

x3在原点即 f(x)在(a,b)内可导，如果f?(x)?0，则f(x)在(a,b)内单调增加； f?(x)?0，则f(x)在(a,b)内单调减少。

f?(x)?0；

如果

记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加，

在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少，

7、 取得极值的必要条件

可导函数

f?(x)?0；

f(x)在点x0处取得极值的必要条件是f?(x0)?0

8、 取得极值的充分条件

第一充分条件：

设

f(x)在点x0的某空心邻域内可导，且f(x)在x0处连续，则

x0时，f?(x)?0; x?x0时，f?(x)?0,那么f(x)在x0处取得极大值f(x0)； x0时，f?(x)?0；x?x0时，f?(x)?0，那么f(x)在x0处取得极小值f(x0)；

f?(x)同号，那么f(x)在x0处没有取得极值；

（1） 如果x?（2） 如果x?（3） 如果在点x0的两侧， 精品文档

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记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。 第二充分条件：

设函数

f(x)在点x0的某邻域内具有一阶、二阶导数，且f?(x0)?0，f??(x0)?0

f??(x0)?0，那么f(x)在x0处取得极大值f(x0)； f??(x0)?0，那么f(x)在x0处取得极小值f(x0)

则 （1）如果 （2）如果9、 凹凸性的判定

设函数

f(x)在(a,b)内具有二阶导数，（1）如果f??(x)?0,x?(a,b)，那么曲线f(x)在(a,b)内凹的；f??(x)?0,x?(a,b)，那么f(x)在(a,b)内凸的。

（2）如果

图像表现： 10、

曲线

凹的表现 凸的表现 渐近线的概念

f(x)在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。

x??（1） 水平渐近线：若lim

f(x)?A,则y?f(x)有水平渐近线y?A

(2) 垂直渐近线：若存在点x0，lim

（2） 求斜渐近线：若lim 精品文档

x??f(x)??，则y?f(x)有垂直渐近线x?x0

x??f(x)?a,lim?f(x)?ax??b，则y?ax?b为其斜渐近线。

x??x