三、计算题(每小题5分，共50分) ?11?41．lim???． x?0xln(1?x)??1【答案】?
21?1?11?ln(1?x)?xln(1?x)?x?111?x【解析】lim???lim?lim?lim?lim??．?2x?0xx?0x?0x?02(1?x)ln(1?x)?x?0xln(1?x)x2x2 ?
42．已知函数x?x(y)由方程arctan【答案】
x?y x?yy?lnx2?y2两边对y求导，得 x1x?y22dxy?lnx2?y2所确定，求．
dyx【解析】方程arctan1x?yx???y2x21?2x?2xx??2y2x?y22，化简得x?y?(x?y)x?，
即
dxx?y．?x??dyx?y
43．求不定积分?arctanxdx． 【答案】xarctanx?x?arctanx?C 【解析】令x?t，则x?t2，dx?2tdt，
t21??2arctanxdx?arctantdt?tarctant?dt?tarctant?1?dt ????1?t2??1?t2??22?t2arctant?t?arctant?C?xarctanx?x?arctanx?C．
2?3?1?x,x?044．设f(x)??x，求?f(x?2)dx．
1??e,x?0
1【答案】e?
3t?x?2【解析】?f(x?2)dx??f(x?2)d(x?2)?????f(t)dt??(1?t2)dt??etdt
11?1?1033101?1???t?t3??3?0?1?et10?e?1．3
45．求微分方程2y???y??y?3ex的通解． 【答案】y?C1e?C2e?x1x23?ex，其中C1,C2为任意常数 21，所以原方程2【解析】对应齐次方程的特征方程为2r2?r?1?0，特征根为r1??1，r2?对应齐次方程的通解为y?C1e?C2e，C1,C2为任意常数， 设y*?Aex为方程的特解，代入方程解得A?故原方程的通解为y?C1e?C2e
46．设u?x2?sin2y?exy，求全微分du． 【答案】(2x?yexy)dx?(2cos2y?xexy)dy 【解析】
?u?u?2cos2y?xexy，故 ?2x?yexy，?y?x?u?udx?dy?(2x?yexy)dx?(2cos2y?xexy)dy． ?x?y?x1x2?x1x23， 2
3?ex，其中C1,C2为任意常数． 2du?
47．一平面过点(1,0,?1)且平行于向量a??2,1,?1?和b??1,?1,2?，求此平面的方程． 【答案】x?5y?3z?4
ijk【解析】所求平面的一个法向量为n?21?1?i?5j?3k?(1,?5,?3)，
1?12又平面过点(1,0,?1)，所以所求平面的方程为(x?1)?5y?3(z?1)?0，即x?5y?3z?4．
48． 计算??edxdy，其中D是由y?1，y?x，y?2，x?0所围成的闭区域．
Dxy【答案】
3(e?1) 2【解析】积分区域D??(x,y)1?y?2,0?x?y?，故
xy2yxy2??edxdy??dy?edx??y(e?1)dy?(e?1)?D10112y221?3(e?1)． 2
49．计算积分?(x2?2xy?y2?10)dx?(x2?2xy?y2?15)dy，其中L为曲线y?cosx上从点
L??????A?,0?到点B??,0?的一段弧． ?2??2?【答案】??312?10?
?P?Q，所以?2x?2y??y?x【解析】P(x,y)?x2?2xy?y2?10，Q(x,y)?x2?2xy?y2?15，所求积分与路径无关，可以沿直线y?0积分，故
?(xL2?2xy?y?10)dx?(x?2xy?y?15)dy???(x?10)dx??22222??2?312?10?．
(x?1)n50．求幂级数?n的收敛域．
2(n?1)n?0?【答案】[?1,3)
an?12n(n?1)1?limn?1?，所以幂级数的收敛半径为2， 【解析】limn??an??2(n?2)2n从而x?1?2，即收敛区间为(?1,3)，
?(?1)n1当x??1时，原级数为?，收敛；当x?3时，原级数为?，
n?0n?1n?0n?1?故原幂级数的收敛域为[?1,3)．
四、应用题(每小题6分，共12分)
51．某房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入为多少？
【答案】当租金定为3600元时，可获得最大收入，最大收入为115600元． x?2000??【解析】设租金定为x元时对应的收入为y元，则y??50??(x?200)，
100??x2即y???72x?14000，x?2000，
100x1令y????72?0，得唯一驻点x?3600，且y?????0，
5050结合实际问题，知当租金定为3600元时，可获得最大收入，最大收入为115600元．
52．曲线y?x3(x?0)，直线x?y?2以及y轴围成一平面图形D，试求平面图形D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积． 【答案】
14? 15【解析】平面图形如图阴影部分所示，所求的体积 3?5Vx????(y)dy???(2?y)dy?y30151322210??3(y?2)321?14?． 15
五、证明题(8分)
53．设f(x)在区间?0,1?上连续，且f(x)?1，证明：方程2x??f(t)dt?1在区间(0,1)内有
0x且仅有一个实根．
【解析】令F(x)?2x??f(t)dt?1，则F(x)为?0,1?上连续函数，
0x且F(0)??1?0，F(1)?1??f(t)dt，又f(x)?1，则?f(t)dt?1，从而F(1)?0，
0011由零点定理知，F(x)在(0,1)内至少有一个零点，
又F?(x)?2?f(x)?0，F(x)在(0,1)上单调增加， 故方程2x??f(t)dt?1在区间(0,1)内有且仅有一个实根．
0x
2013年河南专升本高数真题+答案解析
