19．微分方程(y?)2?(y??)2y?y?0的阶数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】微分方程的阶数为方程中最高阶导数的阶数，故选B．
20．微分方程dy?2xy2dx?0满足条件y(1)??1的特解是（ ）
A．y?1 x2B．y??1 x2C．y?x2 D．y??x2
【答案】B
【解析】对微分方程分类变量，得得C?0，故方程的特解为y??
21．下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（ ）
A．
dy1?2xdx，两边积分，得??x2?C，代入y(1)??1，2yy1，应选B． x2???443,, B．
???643,, C．
???334,, D．
???432,,
【答案】C
【解析】向量的方向角须满足cos2??cos2??cos2??1，计算可知只有C满足．
22．直线L:
x?1y?2z?4与平面?:2x?3y?z?4?0的位置关系是（ ） ??2?31A．L在?上 C．L与?平行
B．L与?垂直相交 D．L与?相交，但不垂直
【答案】B
【解析】由于直线的方向向量与平面的法向量平行，故L与?垂直相交，应选B．
23．下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是（ ）
x2z2A．??y2
73x2y2z2C．?1??
4169
x2y2B．z?1??
44D．x2?y2?2x?0
【答案】D
【解析】D中，曲面在xOy平面上的投影为圆，故D为柱面，其他均不是，应选D． 24．lim2?xy?4?（ ）
x?0xyy?0B．1
1C．?
4 A．0 D．不存在
【答案】C 【解析】lim
25．设z?f(x2?y2,2x?3y)，则
A．2yf1??3f2?
?z?（ ） ?y2?xy?4(2?xy?4)(2?xy?4)11?lim??lim??．
x?0x?0x?0xy4xy(2?xy?4)xy?4y?0y?0y?02?B．?2yf1??3f2? C．2xf1??2f2? D．2xf1??2f2?
【答案】B 【解析】
26．设I??dx?02x220?z?f1??(?2y)?f2??3??2yf1??3f2?，故选B． ?yf(x,y)dy??f(x,y)dx
222dx?8?x20则交换积分次序后，I可以化为（ ） f(x,y)dy，
B．?dy?x20228?x2
A．?dy?028?y22yf(x,y)dx
C．?220dy?x228?x2f(x,y)dx
D．?dy?02222f(x,y)dx
【答案】A
【解析】画出积分区域如图，交换积分次序得I??20dy?8?y22yf(x,y)dx，故选A．
27．积分?dx?0121
xydy?（ ）
2 A．2
1B．
3C．
1 2D．0
【答案】C
【解析】?dx?x2ydy??0112321xdx?x3022110?1．2
L28．设是抛物线x?y2上从O(0,0)到A(1,1)的一段弧，则曲线积分?2xydx?x2dy?（ ）
A．0
B．2
C．4
D．1
【答案】D
【解析】?2xydx?x2dy??(2y2?y?2y?y4)dy?5?y4dy?5y5L001110?1．
29．幂级数?(n?1)xn的收敛区间为（ ）
n?1? A．(0,1) B．(??,??) C．(?1,1) D．(?1,0)
【答案】C 【解析】??lim
30．下列级数收敛的是（ ）
1A．?(?1)
n?1n?1n?n??an?1n?2?lim?1，故收敛半径R?1，收敛区间为(?1,1)． n??n?1an?1?B．?ln?1??
?n?n?1?1C．?sin
nn?1?nnD．?
n?1n!?【答案】A
?1?ln?1??n?11?1，【解析】A为交错级数，且lim单调递减，故收敛；lim??0，
n??n??n?11n?1n1n?an?1(n?1)n?1n!1?n?1?n??lim?lim?n?lim?lim?1，而?发散，故B、C均发散； ??e，n??an??(n?1)!n??n??1nnn??n?1nnsin??1，发散，故选A．
二、填空题(每小题2分，共20分)
31．函数f(x)在点x0有定义是极限limf(x)存在的________条件．
x?x0【答案】既不充分也不必要
【解析】f(x)在点x0有定义表明f(x)定义域中包含x0，limf(x)存在等价于
x?x0?x?x0limf(x)?limf(x)，二者没有什么本质的联系． ?x?x0
?3?32． 已知lim?1??x??x??px?e?2，则p?________．
【答案】
2 3pxx??(?3p)3?3??3?【解析】lim?1???lim?1??x??x???x??x??e?3p?e?2，故p?
2
．3
?eax?a,x?033．函数f(x)?? 是连续函数，则a?________．
acos2x?x,x?0?【答案】
1 2x?0【解析】lim由f(x)的连续性，f(x)?lim(acos2x?x)?a，f(x)?lim(eax?a)?1?a，lim????x?0x?0x?0知1?a?a，即a?
1．2
?1?34．设函数f?2??x4，则f?(x)?________．
?x?2 x312?1?【解析】f?2??x4，f(x)?2，f?(x)??3．
xx?x?【答案】?
35．不定积分?2?cosxdx?________．
2x?sinx【答案】ln2x?sinx?C 【解析】?
2?cosx1dx??d(2x?sinx)?ln2x?sinx?C．
2x?sinx2x?sinx36．向量a??1,0,1?与向量b???1,1,0?的夹角是________． 【答案】
2? 3a?b?112?． ???，故a,b?ab232?2【解析】cosa,b?
37．微分方程y??y?x?0的通解是________． 【答案】y?x?Ce?x?1
【解析】由一阶线性微分方程的通解公式得微分方程的通解为
?dx??x?dxy?e????xedx?C??e????xedx?C??ex?x(xex?ex?C)?x?Ce?x?1，其中C为任意常
数．
38．设方程x?2y?z?2xyz?0所确定的隐函数为z?z(x,y)，则【答案】?5
【解析】方程两边对x求偏导，得1?
39．曲面z?x2?y2在点(1,2,5)处的切平面方程是________． 【答案】2x?4y?z?5
【解析】令F(x,y,z)?x2?y2?z，Fx?2x，Fy?2y，Fz??1，故点(1,2,5)处的切平面法向量为(2,4,?1)，所以切平面的方程为2(x?1)?4(y?2)?(z?5)?0，即2x?4y?z?5．
1展开成(x?4)的幂级数是________． x?(?1)n【答案】?n?1(x?4)n，x?(0,8)
n?04?z?z???2y?z?x??0，z?x?x???z?xx?0y?1?________．
x?0y?1??2，代入得
?z?xx?0y?1??5．
40．将f(x)??1【解析】??(?1)nxn，
1?xn?0?11111?(?1)nn?x?4?f(x)??????(?1)???n?1(x?4)n，x?(0,8)． ?x4?x?441?x?44n?0?4?n?044n
2013年河南专升本高数真题+答案解析
