河南省2013年普通高等学校
选拔优秀本科毕业生本科阶段学习考试
高等数学
一、单项选择题(每小题2分，共60分)
1．函数y?
arcsin(1?x)x?1的定义域是（ ）
B．(1,??)
C．(1,2]
D．?1,2?
A．?0,2?
【答案】C
??1?1?x?1【解析】为使函数有意义，须有?，即1?x?2，故函数的定义域为(1,2]，应选
x?1?0?C．
2．设f(x)?
A．
1 x1，那么f?f?f(x)???（ ） 1?xB．
1 x?1C．
1 21?xD．x
【答案】D 【解析】由f(x)?111?x1?x，故选D．??得f?f(x)??，f?f?f(x)??? 11?xx1?x1?1?x1?x
3．函数y?
1ln(1?x?x)2(???x???)是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
【答案】B 【解析】f(?x)?1ln(1?x?x)2?ln1(1?x?x)(1?x?x)1?x2?x22??1ln(1?x?x)2??f(x)，即
y?f(x)为奇函数，故选B．
4．设f(x)?
sin2x，则x?0是f(x)的（ ） xA．连续点 B．可去间断点 C．跳跃间断点 D．无穷间断点
【答案】B
【解析】limf(x)?limx?0sin2x?2，故x?0是f(x)的可去间断点，选B．
x?0x
5． 当x?0时，下列无穷小量中与1?x?1?x等价的是（ ）
A．x
B．2x
C．x2
D．2x2
【答案】A
【解析】由选项可设与1?x?1?x等价的无穷小量为axb，则 limx?01?x?1?x2xx?lim?lim?1，则a?1，b?1，故选A． bx?0axbaxb(1?x?1?x)x?0ax
6． 已知f?(0)?a，g?(0)?b，且f(0)?g(0)，则limx?0f(x)?g(?x)?（ ）
x A．a?b B．2a?b C．a?b D．b?a
【答案】C 【解析】limx?0f(x)?g(?x)?f(x)?f(0)g(?x)?g(0)??lim???f?(0)?g?(0)?a?b，故选C．? x?0xx?0?x?0??
?x?acost?(a?0,b?0)，则t?对应点处的法线斜率为（ ） 7．曲线?4?y?bsint A．
b aB．
a bbC．?
aaD．?
b【答案】B
dydydtbcostb?a????cott，故t?对应点处的法线斜率为，应选B． 【解析】
dxdx?asinta4bdt
8．设f?(x)?g(x)，则df(sin2x)?（ ）
A．2g(x)sinxdx C．g(sin2x)dx
B．g(x)sin2xdx D．g(sin2x)sin2xdx
【答案】D
?dx?f?(sin2x)?2sinxcosxdx，22??df(sinx)? df(sin2x)??f(sinx)【解析】又，故f(x)?g(x)??g(sin2x)sin2xdx，应选D．
9．设函数f(x)具有任意阶导数，且f?(x)??f(x)?，则f(n)(x)?（ ）
2
A．n!?f(x)?n?1
n?1
B．n?f(x)?n?1
n?1C．(n?1)?f(x)?D．(n?1)!?f(x)?
【答案】A
【解析】f?(x)??f(x)?，
f??(x)?2f(x)f?(x)?2?f(x)?， f???(x)?2?3?f(x)?f?(x)?2?3?f(x)?，
2432
f(n)(x)?n!?f(x)?故选A．
10．由方程xy?ex?y确定的隐函数x(y)的导数
A．
x(y?1)
y(1?x)dx?（ ） dyn?1，
B．
y(x?1)
x(1?y)C．
y(x?1)
x(y?1)D．
x(y?1)
y(x?1)【答案】A
【解析】方程两边对y求导，其中x看作y的函数，x?y?x?ex?y(x??1)，所以x??ex?y?xx(y?1)，故选A． ?y?ex?yy(1?x)dx? dy
11．若f??(x)?0(0?x?a)，且f(0)?0，则下面成立的是（ ）
A．f?(x)?0 C．f(x)?0
B．f?(x)在?0,a?上单调增加 D．f(x)在?0,a?上单调增加
【答案】B
【解析】f??(x)?0只能说明f?(x)是?0,a?上的增函数，而A、C、D中的结论无法得到．
12．点(0,1)是曲线y?x3?bx2?c的拐点，则（ ）
A．b?0，c?1 C．b?1，c?1
B．b??1，c?0 D．b??1，c?1
【答案】A
【解析】y??3x2?2bx，y???6x?2b，当x?0时，y???2b?0，则b?0，又曲线过点(0,1)， 即c?1，故选A．
13．曲线y?1?
A．1条
x?2的垂直渐近线共有（ ）
x2?x?6B．2条 C．3条 D．4条
【答案】A 【解析】y?1?x?2x?2，显然x??2为可去间断点，limy??，故x?3?1?x?3x?x?6(x?2)(x?3)2为曲线的垂直渐近线，故应选A．
14．函数f(x)?ex?e?x的一个原函数是（ ）
A．F(x)?ex?e?x C．F(x)?e?x?ex
B．F(x)?ex?e?x D．F(x)??e?x?ex
【答案】B
【解析】?f(x)dx??(ex?e?x)dx?ex?e?x?C，结合选项可知B正确．
15．若f?(x)连续，则下列等式正确的是（ ）
A．?df(x)?f(x) C．?f?(x)dx?f(x)
B．d?f(x)dx?f(x) D．d?f(x2)dx?f(x2)dx
【答案】D
【解析】?df(x)?f(x)?C，A错；d?f(x)dx?f(x)dx，B错；?f?(x)dx?f(x)?C，C错；
d?f(x2)dx?f(x2)dx，D正确．
16．?x2sinxdx? （ ）
??? A．? B．?? C．1 D．0
【答案】D
【解析】y?x2sinx为???,??上的奇函数，故?x2sinxdx?0，应选D．
??? 17．设?
2?x1f(t)dt?xe2?x，则f?(x)?（ ）
B．(x?1)ex
C．(x?2)ex
D．xe2?x
A．xex
【答案】A
【解析】方程两边对x求导，得f(2?x)?e2?x?xe2?x，所以f(x)?ex?(x?2)ex，f?(x)?xex，故选A．
18．下列广义积分收敛的是（ ）
A．???1dx xB．???dxx1
C．???1dx 2xD．???1ln3xdx x【答案】C 【解析】?收敛；?
??1??1dx?lnxx??1???，发散；???dxx1?2x??1???，发散；???1dx1??x2x??1?1，
??ln3xdx1??ln3xdlnx?ln4x1x4??1???，发散，故选C．
2013年河南专升本高数真题+答案解析
