人教版高中数学必修二 第3章 3.1 3.1.1 倾斜角与斜率

3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率

学 习 目 标 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念． 2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性． 3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． 核 心 素 养 1. 通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养． 2. 通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养.

1．倾斜角的相关概念 (1)两个前提： ①直线l与x轴相交；

②一个标准：取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角； ③范围：0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. (2)作用：

①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；

②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．

思考：下图中标的倾斜角α对不对？

[提示] 都不对．

2．斜率的概念及斜率公式

(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值． (2)记法：k＝tan α．

(3)斜率与倾斜角的对应关系．

图示 倾斜角(范围) 斜率 (范围) (4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝y2－y1． x2－x1

0 α＝0° 0°＜α＜90° (0，＋∞) α＝90° 90°＜α＜180° 不存在 (－∞，0) 思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？

[提示] 不是．若直线没斜率，则其倾斜角为90°.

1．如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为( )

A．45° B．135° C．0° D．无法计算 B [根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为135°.]

2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是( ) A．0° B．45° C．60° D．90° 0

A [∵k＝4＝0，∴θ ＝0°.]

3．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是( )

13

A．5 B．8 C．2 D．7

8－m13

C [由斜率公式可得＝1，解之得m＝2.]

m－5

4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为( ) 32A．3 B．3 C．1 D．2 3

A [由题意可知，k＝tan 30°＝3.]

直线的倾斜角 【例1】 设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )

A．α＋45° B．α－135° C．135°－α

D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°

D [根据题意，画出图形，如图所示：

因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：

当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；

当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.]

求直线的倾斜角的方法及两点注意

(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．