第二节 导数的应用
第1课时 导数与函数的单调性
A组 基础达标
一、选择题
1.函数f(x)＝xln x，则( ) A.在(0，＋∞)上递增 1
0，?上递增 C.在??e?
B.在(0，＋∞)上递减 1
0，?上递减 D.在??e?
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1， 11
令f′(x)>0得x>，令f′(x)<0得0 ee答案 D 2.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( ) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4) D.(2，＋∞) 解析 f′(x)＝(x－2)ex，令f′(x)>0，得x>2，即f(x)的单调递增区间是(2，＋∞). 答案 D 3.函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是( ) 解析 由函数f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0)上，f′(x)＞0；在(0，＋∞)上，f′(x)＜0.选项D满足. 答案 D ln x 4.已知f(x)＝，则( ) xA.f(2)＞f(e)＞f(3) B.f(3)＞f(e)＞f(2) - 1 - C.f(3)＞f(2)＞f(e) D.f(e)＞f(3)＞f(2) 解析 f(x)的定义域是(0，＋∞)，∵f′(x)＝1－ln x x2， ∴x∈(0，e)，f′(x)＞0，x∈(e，＋∞)，f′(x)＜0， 故x＝e时，f(x)max＝f(e)， 又f(2)＝ln 22＝ln 86，f(3)＝ln 3ln 9 3＝6， 则f(e)＞f(3)＞f(2). 答案 D 5.(2020·保定模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(A.(－1，1) B.(－1，＋∞) C.(－∞，－1) D.(－∞，＋∞) 解析 由f(x)＞2x＋4，得f(x)－2x－4＞0， 设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2， 因为f′(x)＞2，所以F′(x)＞0在R上恒成立， 所以F(x)在R上单调递增. 又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0， 故不等式f(x)－2x－4＞0等价于F(x)＞F(－1)， 所以x＞－1. 答案 B 二、填空题 6.已知函数f(x)＝(－x2＋2x)ex(x∈R，e为自然对数的底数)，则函数f(x)的单调递增区间为________. 解析 因为f(x)＝(－x2＋2x)ex， 所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex. 令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0， 因为ex＞0，所以－x2＋2＞0，解得－2＜x＜2， 所以函数f(x)的单调递增区间为(－2，2). - 2 - ) 答案 (－2，2) 7.若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________. 解析 由题意知f′(x)＝3ax2＋6x－1，由函数f(x)恰好有三个单调区间，得f′(x)＝0有2个不同的实根.需满足a≠0，且Δ＝36＋12a＞0，解得a＞－3， 所以实数a的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞). 答案 (－3，0)∪(0，＋∞) 8.(2020·无锡期末)若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________. 解析 由题意知，y′＝3x2＋2x＋m.若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则y′＝3x2＋2x＋m≥0恒11 ，＋∞?. 成立，则对于方程3x2＋2x＋m＝0，Δ＝4－12m≤0，即m≥，故实数m的取值范围是?3??3 1?答案 ??3，＋∞? 三、解答题 xa31 9.已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x. 4x22(1)求a的值； (2)求函数f(x)的单调区间. 1a1 解析 (1)对f(x)求导得f′(x)＝－2－， 4xx 135 由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝. 244x53 (2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－(x＞0). 44x2x2－4x－5 则f′(x)＝. 4x2令f′(x)＝0，且x＞0， ∴x＝5(x＝－1舍去). 当x∈(0，5)时，f′(x)＜0；当x＞5时，f′(x)＞0. 所以函数f(x)的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0，5). 1e 10.(2019·成都检测)设函数f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝－x，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数. xe(1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当x＞1时，g(x)＞0. - 3 -
2020高考总复习基础版数学文科第三章第二节第1课时
