第二节 导数的应用
第1课时 导数与函数的单调性
A组 基础达标
一、选择题
1.函数f(x)=xln x,则( ) A.在(0,+∞)上递增 1
0,?上递增 C.在??e?
B.在(0,+∞)上递减 1
0,?上递减 D.在??e?
解析 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1, 11
令f′(x)>0得x>,令f′(x)<0得0 ee答案 D 2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 解析 f′(x)=(x-2)ex,令f′(x)>0,得x>2,即f(x)的单调递增区间是(2,+∞). 答案 D 3.函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f′(x)的图象可能是( ) 解析 由函数f(x)的图象可知,f(x)在(-∞,0)上单调递增,f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以在(-∞,0)上,f′(x)>0;在(0,+∞)上,f′(x)<0.选项D满足. 答案 D ln x 4.已知f(x)=,则( ) xA.f(2)>f(e)>f(3) B.f(3)>f(e)>f(2) - 1 - C.f(3)>f(2)>f(e) D.f(e)>f(3)>f(2) 解析 f(x)的定义域是(0,+∞),∵f′(x)=1-ln x x2, ∴x∈(0,e),f′(x)>0,x∈(e,+∞),f′(x)<0, 故x=e时,f(x)max=f(e), 又f(2)=ln 22=ln 86,f(3)=ln 3ln 9 3=6, 则f(e)>f(3)>f(2). 答案 D 5.(2020·保定模拟)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞) 解析 由f(x)>2x+4,得f(x)-2x-4>0, 设F(x)=f(x)-2x-4,则F′(x)=f′(x)-2, 因为f′(x)>2,所以F′(x)>0在R上恒成立, 所以F(x)在R上单调递增. 又F(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=2+2-4=0, 故不等式f(x)-2x-4>0等价于F(x)>F(-1), 所以x>-1. 答案 B 二、填空题 6.已知函数f(x)=(-x2+2x)ex(x∈R,e为自然对数的底数),则函数f(x)的单调递增区间为________. 解析 因为f(x)=(-x2+2x)ex, 所以f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex. 令f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0, 因为ex>0,所以-x2+2>0,解得-2<x<2, 所以函数f(x)的单调递增区间为(-2,2). - 2 - ) 答案 (-2,2) 7.若函数f(x)=ax3+3x2-x恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围是________. 解析 由题意知f′(x)=3ax2+6x-1,由函数f(x)恰好有三个单调区间,得f′(x)=0有2个不同的实根.需满足a≠0,且Δ=36+12a>0,解得a>-3, 所以实数a的取值范围是(-3,0)∪(0,+∞). 答案 (-3,0)∪(0,+∞) 8.(2020·无锡期末)若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是________. 解析 由题意知,y′=3x2+2x+m.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则y′=3x2+2x+m≥0恒11 ,+∞?. 成立,则对于方程3x2+2x+m=0,Δ=4-12m≤0,即m≥,故实数m的取值范围是?3??3 1?答案 ??3,+∞? 三、解答题 xa31 9.已知函数f(x)=+-ln x-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x. 4x22(1)求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间. 1a1 解析 (1)对f(x)求导得f′(x)=-2-, 4xx 135 由f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x知f′(1)=--a=-2,解得a=. 244x53 (2)由(1)知f(x)=+-ln x-(x>0). 44x2x2-4x-5 则f′(x)=. 4x2令f′(x)=0,且x>0, ∴x=5(x=-1舍去). 当x∈(0,5)时,f′(x)<0;当x>5时,f′(x)>0. 所以函数f(x)的增区间为(5,+∞),减区间为(0,5). 1e 10.(2019·成都检测)设函数f(x)=ax2-a-ln x,g(x)=-x,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数. xe(1)讨论f(x)的单调性; (2)证明:当x>1时,g(x)>0. - 3 -