习 题 四
A 组
1．填空题
x?a)?(1) 设x=(2,3,7)T，y=(4,0,2)T，z=(1,0,2)T，且2(3y(?a?)，z则
a= ．
解 由2(x?a)?3(y?a)?z得
(2) 单个向量?线性无关的充分必要条件是 ．
解 ??0．
(3) 已知向量组??=(1,0,1),??=(2,2,3)，??=(1,3,t)线性相关，则 ．
?110110051?2t?5?0，所以t?． 解 因为?2?223?222?313t13t?1(4) 设有向量组??,??，又????????，??????2??，???????2??，则向量组??,??,??线性 ．
解 相关．
(5) 若向量组??,??,??线性相关，则向量组?????，?????，?????线性 ．
可由?1,?2线性表示，所以?1,?2,?3的秩小于等于2，从而可知?1,?2,?3线性?1,?2,?3110??1??2??110???1??110?????????解 因为??2??3???011???2?，又011?2?0，所以矩阵?011?可逆，从而
??????101?????101?1011??3???3???即?1,?2,?3与?1??2,?2??3,?3??1等价．故?1??2，?2??3,?3??1线性相关．
1． 2(6) 设行向量组(2,1,1,1)，(2,1,a,a)，(3,2,1,a)，(4,3,2,1)线性相关，且a?1，则 ． 解 a?(7) 设向量组式 ．
解 abc?0．
?1??a,0,c,2??b,c?,0?3,????线性无关，则a,b,c必满足关系a0,b,??12?2?T??2?，三维列向量???a,1,1?．已知A?与?线性相关，则(8)设三阶矩阵A=?21?304???a? ．
解 a??1．
2．选择题
(1) n维向量组a1,a2,,as(3≤s≤n)线性无关的充分必要条件是 ．
,ks，使k1?1?k2?2?,ks，使k1?1?k2?2??ks?s?0； ?ks?s?0；
(A)存在一组全为零的数k1,k2,(B)存在一组不全为零的数k1,k2,(C)a1,a2,(D)a1,a2,,as中任意两个向量都线性无关；
,as中任意一个向量都不能由其余向量线性表示．
答 （D）．?1,?2,,?s线性相关的充分必要条件是：?1,?2,,?s中至少有一个向量可由其余
,?s中任意一个向量
s?1个向量线性表示．所以?1,?2,都不能由其余s?1个向量线性表示．
(2) 设有两个n维向量组??,??,,?s线性无关的充分必要条件是：?1,?2,,?s、??,??,,?s，若存在两组不全为零的数k1,k2,,ks；
?1,?2,(A) (B) (C) (D)
,?s，使(k1??1)?1??(ks??s)?s?(k1??1)?1??(ks??s)?s?0；则 ．
?????,??,??,??,??,,?s??s，?????,,?s、??,??,,?s、??,??,,?s??s线性相关；
,?s均线性无关； ,?s均线性相关；
,?s??s线性无关．
?????,,?s??s，?????,答 （A）．因为
所以?1??1,,?s??s,?1??1,,?s??s线性相关．
,?m为两个n维向量组(m?2)，且
(3) 设向量组?1,?2,则有 ．
(A) (B) (C)
,?m和向量组??,??,?1,?2,?1,?2,?1,?2,,?m的秩小于??,??,,?m的秩大于??,??,,?m的秩等于??,??,,?m的秩； ,?m的秩； ,?m的秩；
1???1?01???1???2?10，又
?????????0?11??m?(D) 无法判定．
??1??01????2??10??答 （C）．因为
???????????m??11即?1,110?(?1)m?1(m?1)?0，所以有
?2,,?m与?1,?2,,?m等价，从而知?1,?2,,?m与?1,?2,,?m的秩相等．
(4) 设有两个n维向量组
?1,?2,,?m和??,??,,?m均线性无关，则向量组
?1???,?2???,,?m??m ．
(A) 线性相关； (B) 线性无关；
(C) 可能线性相关也可能线性无关； (D) 既不线性相关，也不线性无关． 答 （C）．
?1??1???1???1?????????例如，?1??0?,?2??1?;?1??0?,?2???1?，则?1,?2和?1,?2都线性无关，但
?0??0??0??0??????????1??1,?2??2线性相关．
?1??1??1??1?????????又如， ?1??0?,?2??1?;?1??0?,?2??1?,则?1,?2和?1,?2都线性无关，?1??1,?2??2?0??0??0??0?????????也线性无关．
(5) 设有向量组A???1,?2,,?s与B???,??,,?t均线性无关，且向量组A中的每个向量都不
能由向量组B线性表示，同时量组B中的每个向量也不能由向量组A线性表示，则向量组
?1,?2,,?s???,??,,?t的线性相关性为 ．
(A) 线性相关； (B) 线性无关；
(C) 可能线性相关也可能线性无关； (D) 既不线性相关，也不线性无关． 答 （C）．
?1??1??0??0?????????例如，当?1??0?,?2??1?;?1??0?,?2??1?,则?1,?2和?1,?2都线性无关，且?1,?2不能
?0??0??1??1?????????由?1,?2线性表示，?1,?2也不能由?1,?2线性表示．但?1,?2，?1,?2线性相关．
?1??1??0??0?????????0100????????又例如?1?,??;??,??,则?1,?2和?1,?2都线性无关，且?1,?2不能由?0?2?0?1?0?2?1??????0???0???1???1???????????1,?2线性表示，?1,?2也不能由?1,?2线性表示．但?1,?2，?1,?2线性无关．
(6) 设向量组I:?1,?2,,?r可由向量组Ⅱ:?1,?2,,?s线性表示，则 ．
（A）当r?s时，向量组II必线性相关；
（B）当r?s时，向量组II必线性相关； （C）当r?s时，向量组I必线性相关； （D）当r?s时，向量组I必线性相关． 答 （D）． (7) 设?1,?2,,?s均为n维向量，下列结论不正确的是 ．
则?1,?2,?ks?s?0，
(A) 若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有k1?1?k2?2?线性无关；
(B) 若
,?s?1,?2,,?s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有
?ks?s?0；
k1?1?k?2?2(C) (D)
?1,?2,,?s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s； ?1,?2,,?s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关．
答 （B）．
(8) 设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有 ． (A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关； (B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关； (C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关； (D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关． 答 （A）． 3．将b表示为a1,a2,a3的线性组合.
(1)a1?(1,1,?1)，a2?(1,2,1)，a3?(0,0,1)，b?(1,0,?2)； (2)a1?(1,2,3)，a2?(1,0,4)，a3?(1,3,1)，b?(3,1,11)． 解
TTTTTTTT（1） 令x1a1?x2a2?x3a3?b，即
110因为D?120?1?0，所以由Cramer法则，得 ?111故b?2a1?a2?a3．
（2） 令x1a1?x2a2?x3a3?b，即
111因为D?203?3?0，所以由Cramer法则，得 341故b?0a1?81a2?a3． 334．已知向量组a1,a2,奇数时b1,b2,,ar线性无关，且b1?a1?a2，b2?a2?a3，…，br?ar?a1．证明当r为
,br线性相关．
,br线性无关；当r为偶数时b1,b2,?xrbr?0，得
解 令x1b1?x2b2?因为a1,a2,,ar线性无关，所以有
该方程组的系数行列D为
当r为奇数时D?0，方程组只有零解，即b1,b2,非零解，即b1,b2,5．已知a1,a2,,br线性无关；当r为偶数时D?0，方程组有
,br 线性相关．
,ar线性无关，且b1?a1，b2?a1?a2，…，br?a1?a2??ar，证明
b1,b2,,br线性无关．
0??a1??10???0??a2??11?，???????a????1???r??11?b1??10???b2??11??证明 因为
??????b????r??11从而a1,a2,0??0?可逆，即 ??1??,ar线性无关．
其中i?1,2,,aipn)，
,ar与b1,b2,,br等价，于是得a1,a2,ai?(ai1,ai2,6．设有两个n维向量组A:而p1p2,ain)，B:bi?(aip1,aip2,,m，
pn是1,2,,n这n个自然数的某个排列，证明向量组A与向量组B的线性相关性相同．
证明 令x1a1?x2a2??xmam?0，即
4第四章向量组的线性相关性习题解答-2024年文档
