第三章 微分中值定理与导数的应用
第一节 微分中值定理 习题 3-1 P. 132
1. 验证罗尔定理对函数y?lnsinx在区间[解 （1）函数y?lnsinx在闭区间[?5?6,6]上的正确性.
?5?（2）在开区间(,（3）]上连续；)可导；
6666??15?5???1f()?lnsin?ln，f()?lnsin?lnsin(??)?lnsin?ln， 66266662?5??5?f()?f()，即两个端点函数值相等. 由罗尔定理知，???(,)，使f?(?)?0.6666??5?又f?(?)?cotxx???cot??0，得???(,).
266?5? 所以罗尔定理对函数y?lnsinx在区间[,]上是正确的.
66?5?,322. 验证拉格朗日中值定理对函数y?4x?5x?x?2在区间[0,1]上的正确性.
32解 （1）函数y?4x?5x?x?2在闭区间[0,1]上连续；（2）在开区间(0,1)可导. 由
拉格朗日中值定理知，???(0,1)，使
f?(?)?f(1)?f(0).
1?02又f(1)??2，f(0)??2，故f?(?)?12??10??1?f(1)?f(0)?0，得
1?0??5?13?(0,1). 1232 所以格朗日中值定理对函数y?4x?5x?x?2在区间[0,1]上是正确性的.
3. 对函数f(x)?sinx及F(x)?x?cosx在区间[0,?2]上验证柯西中值定理的正确性.
解 （1）函数f(x)?sinx及F(x)?x?cosx在闭区间[0,可导.；（3）F?(x)?1?sinx?0,x?(0,?2（2）在开区间(0,]上连续；
?2)?2). 由柯西中值定理知，???(0,?2)，使
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f()?f(0)f?(?)cos?1?022?， ?????F?(?)1?sin?F()?F(0)?1??2221?tan2确定?：因为 cos???????2222，sin??22tan?2，
1?tan21?tan2cos??1?sin?1?tan2?21?tan22tan1?1?tan?1?tan??2?2， ??2所以
?1?tan2得 tan?22?2?4???，??2arctan4????0.53346?(0,?2).
所以柯西中值定理对函数f(x)?sinx及F(x)?x?cosx在区间[0,?2]上是正确的.
24. 证明对函数y?px?qx?r应用拉格朗日中值定理时所求得的点?总是位于区间的正
中间.
2证 函数的定义域D?(??,??). 任取区间[a,b]?(??,??)，函数y?px?qx?r在
闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)可导，满足拉格朗日中值定理的条件，故???(a,b)，使下面结论成立：
f(b)?f(a)(pb2?qb?r)?(pa2?qa?r)? f?(?)?2p??q??p(b?a)?q，
b?ab?a得
??a?b，即所求得的点?总是位于区间的正中间. 25. 不用求出函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)的导数，说明方程f?(x)?0有几个实根，并指出它们所在的区间.
解 函数f(x)在闭区间[1,2]连续；在开区间(12)可导；f(1)?f(2)?0，即两个端点函数值相等. 满足罗尔定理条件，故??1?(1,2)，使f?(?1)?0. 同理，??2?(2,3)，使f?(?2)?0；??3?(3,4)，使f?(?3)?0.
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又f?(x)?0为三次方程，故?1,?2,?3为方程f?(x)?0的三个实根，分别位于区间
(1,2),(2,3),(3,4)内.
6. 证明恒等式arcsinx?arccosx??2(?1?x?1).
证 设函数f(x)?arcsinx?arccosx(?1?x?1)，f?(x)?11?x2?11?x2?0，
故f(x)在区间[?1,1]内为常数，即f(x)?arcsinx?arccosx?C，取x?0，
f(0)?arcsin0?arccos0?0??2?C，得C??2.
. 故
arcsinx?arccosx??27. 若方程a0xn?a1xn?1???an?1x?0有一个正根x?x0，证明方程
a0nxn?1?a1(n?1)xn?2???an?1?0必有一个小于x0的正根.
证 设f(x)?a0xn?a1xn?1???an?1x.
因为f(x)在闭区间[0,x0]连续；在开区间(0,x0)可导，f(0)?f(x0)?0，即两个端点函数值相等，f(x)在区间[0,x0]上满足罗尔定理条件，故???(0,x0)，使f?(?)?0，即?为方程a0nxn?1?a1(n?1)xn?2???an?1?0的根，又??(0,x0)，故该根为正根，且小于x0.
8. 若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，且f(x1)?f(x2)?f(x3)，其中a?x1?x2
?x3?b. 证明：在(x1,x3)内至少有一点?，使得f??(?)?0.
证 因为函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，故f(x)、f?(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导. 又a?x1?x2?x3?b，所以
f(x)分别在[x1,x2]、[x2,x3]上连续，在(x1,x2)、(x2,x3)内可导，且
f(x1)?f(x2)?f(x3)，满足罗尔定理条件，故??1?(x1,x2)及??2?(x2,x3)，使
f?(?1)?0,f?(?2)?0.
又f?(x)在区间[?1,?2]上连续，在(?1,?2)内可导，且f?(?1)?f?(?2)?0，满足罗
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尔定理的条件，故???(?1,?2)?(x1,x3)，使f??(?)?0. 9. 设a?b?0,n?1，证明：
n?1nnn?1 nb(a?b)?a?b?na(a?b).
n证 设f(x)?x(n?1)，f(x)在[b,a]上连续，在(b,a)可导，满足拉格朗日中值定理
的条件，故??(0?b???a)，使
f?(?)?n?n?1f(a)?f(b)an?bn??.
a?ba?bn?1又因为 b???a，所以 nbn?1?n?an?bn??nan?1，即有
a?bn?1nnn?1 nb(a?b)?a?b?na(a?b).
10. 设a?b?0，证明：
a?baa?b. ?ln?abb证 设f(x)?lnx，f(x)在闭区间[b,a]连续，在开区间(b,a)可导，满足拉格朗日中值定理条件，故??(0?b???a)，使 f?(?)?1??f(a)?f(b)lna?lnb?.
a?ba?b又因为
1111lna?lnb1??，所以??，移项即得 a?baa?bb 11. 证明下列不等式：
a?baa?b. ?ln?abb（1）arctana?arctanb?a?b； （2）当x?1时，e?ex.
证（1）arctana?arctanb?a?b.
设f(x)?arctanx，f(x)在[b,a]上连续，在(b,a)可导，由拉格朗日中值定理可知，
x???(b,a)，使
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f?(?)?1f(a)?f(b)arctana?arctanb??， 2a?ba?b1??a?ba?b所以 arctana?arctanb?，arctana?arctanb?，
1??21??2又因为
1?1，所以 arctana?arctanb?a?b. 21??x（2）当x?1时，e?ex.
t设f(t)?e，f(t)在闭区间[1,x]上连续，在开区间(1,x)可导，由拉格朗日中值定理
可知，??(1???x)，使
f(x)?f(1)ex?e? f?(?)?e?.
x?1x?1?ex?e?e，化简即得 又因为??1，所以e?x?1? e?ex.
12. 证明方程x?x?1?0只有一个正根.
5解 设f(x)?x?x?1，f(x)在(??,??)连续. 取区间[0,1]，f(0)??1，f(1)?1，
x5f(0)f(1)?0，由零点定理知，???(0,1)，使f(?)?0，即?为方程x5?x?1?0的
根（正根）. 下面用用反证法证明根唯一：
设方程还有另一个根x0，f(x0)?0. 则函数f(x)在闭区间[?,x0]（或[x0,?]）连
?C?(?,x0)续，在开区间(?,x0)（或(x0,?)）可导，且f(?)?f(x0)?0. 由罗尔定理知，
4（或?C?(x0,?)），使f?(C)?0，而f?(C)?5C?1?0，故不存在这样的C点，由此
可知f(x)不存在其它的零点，?是唯一的零点，故方程x?x?1?0的根唯一. 13. 设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明在(a,b)内有一点?，使
5
f(a)g(a)f(b)g(b)?(b?a)f(a)g(a)f?(?). g?(?)第 146 页 共 54 页
第三章 微分中值定理与导数的应用
