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因式分解
一、导入：
有两个人相约到山上去寻找精巧的头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精巧的头。甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?〞乙说：“漂亮的头虽然多，但我只选一个最精巧的就够了。〞甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个头! 启示：人生中会有多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。 二、知识点回忆： 1．运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过假设干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
(1)a-b=(a+b)(a-b)； (2)a±2ab+b=(a±b)； (3)a+b=(a+b)(a-ab+b)； (4)a-b=(a-b)(a+ab+b)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；
(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；
(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n为正整数； (8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)，其中n为偶数； (9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)，其中n为奇数．
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 三、专题讲解
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例1 分解因式：
(1)-2x
5n-1n
y+4x
3n-1n+2
y-2xy；(2)x-8y-z-6xyz；
n-1n+4333
解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)
=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2xn-1yn(x2n-y2)2 =-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)
=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．
例2 分解因式：a+b+c-3abc．
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此题实际上就是用因式分解的法证明前面给出的公式(6)． 分析我们已经知道公式
(a+b)=a+3ab+3ab+b
的正确性，现将此公式变形为
a+b=(a+b)-3ab(a+b)．
这个式也是一个常用的公式，此题就借助于它来推导． 解原式=(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc =［(a+b)3+c］-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)-c(a+b)+c]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)．
说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为 a+b+c-3abc
显然，当a+b+c=0时，那么a+b+c=3abc；当a+b+c＞0时，那么a+b+c-3abc≥0，即a+b+c≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立． 如果令x=a≥0，y=b≥0，z=c≥0，那么有
等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论． ※※变式练习
1分解因式：x+x+x+…+x+x+1．
分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x开场，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a-b来分解． 解因为
x-1=(x-1)(x+x+x+…x+x+1)， 所以
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说明在此题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用． 2．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵
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消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进展因式分解． 例3分解因式：x-9x+8．
分析此题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧． 解法1 将常数项8拆成-1+9． 原式=x-9x-1+9 =(x-1)-9x+9 =(x-1)(x+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x+x-8)． 解法2 将一次项-9x拆成-x-8x． 原式=x-x-8x+8 =(x-x)+(-8x+8) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x+x-8)． 解法3 将三次项x拆成9x-8x． 原式=9x-8x-9x+8 =(9x-9x)+(-8x+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x+x+1) =(x-1)(x+x-8)． 解法4 添加两项-x+x． 原式=x-9x+8
=x-x+x-9x+8 =x(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x+x-8)．
说明由此题可以看出，用拆项、添项的法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸法巧性最强的一种． ※※变式练习 1分解因式： (1)x+x+x-3； (2)(m-1)(n-1)+4mn； (3)(x+1)+(x-1)+(x-1)； (4)ab-ab+a+b+1． 解 (1)将-3拆成-1-1-1． 原式=x+x+x-1-1-1
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因式分解[竞赛题]含答案
