复合函数零点问题专题训练
1．定义域和值域均为[-a,a] (常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示， 给出下列四个命题中：
(1) 方程f[g(x)]=0有且仅有三个解； (2) 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解； (3) 方程f[f(x)]=0有且仅有九个解； (4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。
那么，其中正确命题的个数是 ( ) A． 1 B. 2 C. 3 D. 4 y y a a f(x)g(x) O a x a x aaO aa(第1题图) 解：选B. （1）方程f[g（x）]=0有且仅有三个解；g（x）有三个不同值，由于y=g（x）是减函数，所以有三个解，正确；
（2）方程g[f（x）]=0有且仅有三个解；从图中可知，f（x）∈（0，a）可能有1，2，3个解，不正确；
（3）方程f[f（x）]=0有且仅有九个解；类似（2）不正确；
（4）方程g[g（x）]=0有且仅有一个解．结合图象，y=g（x）是减函数，故正确．
22. 已知函数f(x)?xex?1，若函数y?f(x)?bf(x)?2恰有四个不同的零点，则实数
b的取值范围是 （ ）
A.(??,?22)
B. (?3,?2) C. (??,?3) D.?3,?22
??解：用求导方法得，f(x)在x=－1取得最大值1，在x=0取得最小值0，故0 2有3个解，a>1时，f(x)=a,有1个解，y?f(x)?bf(x)?2恰有四个不同的零点，则 t2+bt+2=0有两个不等根，1个在（0,1）内，另1个根大于1，令g(t)= t2+bt+2,于是得， ⊿>0且g（0）>0且g(1)<0,解得b<－3，故选C． 2思考：已知函数f(x)?xex?1，若函数y?f(x)?bf(x)?2恰有6个不同的零点，则 实数b的取值范围是 （ ） 3. (2013四川，理10)设函数f(x)＝e?x?a(a∈R，e为自然对数的底数)，若曲线 y＝sin x上存在点(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值范围是( )． A．[1，e] B．[e－1－1,1] C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1] 解析：由题意可得，y0＝sin x0∈[－1,1]， 而由f(x)＝e?x?a可知y0∈[0,1]， xx 当a＝0时，f(x)＝ex?x为增函数， ∴y0∈[0,1]时，f(y0)∈[1，e?1]． ∴f(f(y0))≥e?1＞1. ∴不存在y0∈[0,1]使f(f(y0))＝y0成立，故B，D错； 当a＝e＋1时，f(x)＝e?x?e?1，当y0∈[0,1]时，只有y0＝1时f(x)才有意义， 而f(1)＝0， ∴f(f(1))＝f(0)，显然无意义，故C错．故选A． x1?,x?0?x?4. 已知函数f(x)?x?3x?1，g(x)??， 4x2???x?6x?8,x?032则方程g?f(x)??a?0(a?0)的解的个数不可能是（ ） A．3个 B.4个 C.5个 D.6个 答案 选A 5. 设 ??f(x)??,g(x)是二次函数，若f(g(x))的值域是[0,+∞)， x,x?1??x2,x?1则g(x)的值域是（ ） A(-∞, -1]∪[1, +∞) B(-∞, -1]∪[0, +∞) C[0, +∞) D[1, +∞) 【解析】 选C．令f(g(x))=f(t),t=g(x),当t∈(-∞, -1] ∪[0, +∞) 或t∈(-∞, -1] ∪[0,1)或t∈[0, +∞)时，f(t) 的值域是[0,+∞)，而 t=g(x) 是二次函数，故选C． 6. 某同学在研究函数f(x)?x2?1?x2?6x?10的性质时，受到两点间距离公式的启 发，将f(x)变形为f(x)?(x?0)2?(0?1)2?(x?3)2?(0?1)2，则f(x)表示，下列关于函数f(x)的描述： |PA|?|PB|（如图） ①f(x)的图象是中心对称图形； ②f(x)的图象是轴对称图形； ③函数f(x)的值域为[13,??)； yA(0,1)xB(3,-1)OP ④方程f[f(x)]?1?10有两个解. 则描述正确的是 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【解析】 选B. f(x)=f(3-x) ,对称轴x=,f(x)min=｜AB｜=13,由f[f(x)]?1?10 2 得f(x)=0或f(x)=3?[13,??) 7.已知函数f(x)?x?1，关于x的方程f2(x)?f(x)?k?0，给出下列四个命题： ① 存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根； ② 存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根； ③ 存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； ④ 存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题的序号为______ ______ 解：①③④ 令t= f(x)，则k= -3t2+t，分别作出两个函数的图像，k<0时，存在唯一的t(t>1),由t= f(x)的图像知，存在两个x, ①正确，k=0,t=0（对应x=1,-1）或1(对应3个x),此时有5个不同的实根，③正确，0 尝试题1：已知函数y=f（x）和y=g（x）在[﹣2，2]上的图象如图所示：给出下列四个命 题： ①方程f[g（x）]=0有且仅有6个根； ②方程g[f（x）]=0有且仅有3个根； ③方程f[f（x）]=0有且仅有7个根； ④方程g[g（x）]=0有且仅有4个根． 其中正确命题的序号为 ．
复合函数零点问题专题训练
