5.4.3 正切函数的性质与图象 知识点 函数y＝tan x的图象与性质 解析y＝tan x 式 图象 定义域 值域 周期 奇偶性 单调性 ???π?x?x≠kπ＋，k∈Z? 2??? R π 奇函数 ππ???在开区间kπ－2，kπ＋2?，k∈Z上都是增函数 ??状元随笔 如何作正切函数的图象 (1)几何法 就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐． (2)“三点两线”法 ?π??π?π?，1?；“三点”是指?－4，－1?，(0,0)，“两线”是指x＝－2和???4?πx＝2. 在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画?ππ?出正切函数在?－2，2?上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切??曲线． [教材解难] 1．教材P209思考 有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象． 2．教材P210思考
π??可以先考察函数y＝tan x，x∈?0，2?的图象与性质，然后再根据??奇偶性、周期性进行拓展． [基础自测] 1．下列说法正确的是( ) A．y＝tan x是增函数 B．y＝tan x在第一象限是增函数 C．y＝tan x在某一区间上是减函数 ππ??D．y＝tan x在区间?kπ－2，kπ＋2?(k∈Z)上是增函数 ??解析：由正切函数的图象可知D正确． 答案：D π??2．函数y＝tan?x＋4?的定义域是( ) ?? ????π?π?A.?x?x≠－4? B.?x?x≠4? ????????????ππC.?x?x≠kπ－4，k∈Z? D.?x?x≠kπ＋4，k∈Z? ??????πππ解析：由x＋4≠kπ＋2，k∈Z，得x≠kπ＋4，k∈Z. 答案：D π????2x＋3．已知函数f(x)＝tan3?，则函数f(x)的最小正周期为( ) ?ππA.4 B.2 C．π D．2π ππ解析：解法一 函数y＝tan(ωx＋φ)的周期T＝|ω|，可得T＝|2|＝ π2. π??解法二 由诱导公式可得tan?2x＋3? ??π?π?π????????＝tan2x＋3＋π＝tan2x＋2?＋3?， ??????
π??π所以f?x＋2?＝f(x)，所以周期为T＝2. ??答案：B 4．比较大小：tan 135°________tan 138°.(填“＞”或“＜”) 解析：因为90°＜135°＜138°＜270°，又函数y＝tan x在区间(90°，270°)上是增函数，所以tan 135°＜tan 138°. 答案：＜ 题型一 求函数的定义域 例1 求下列函数的定义域： 1(1)y＝； 1＋tan x(2)y＝lg(3－tan x)． 1【解析】 (1)要使函数y＝有意义， 1＋tan x ??1＋tan x≠0，需使?π??x≠kπ＋2?k∈Z?， 所以函数的定义域为 ππ{xx∈R且x≠kπ－4，x≠kπ＋2，k∈Z}. (2)要使y＝lg(??3－tan x>03－tan x)有意义，需使?π??x≠kπ＋2?k∈Z? ， ???ππ所以函数的定义域是?x?kπ－2 于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解． 1跟踪训练1 (1)函数y＝tan x的定义域为( ) A.{x|x≠0} B．{x|x≠kπ，k∈Z} ???πC.?x?x≠kπ＋2，k∈Z? ??????kπD.?x?x≠2，k∈Z? ??? (2)求函数y＝tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域． tan x≠0?1解析：(1)函数y＝tan x有意义时，需使? π?x≠kπ＋2?k∈Z?，πkπ所以函数的定义域为{x{x≠kπ＋2，且x≠kπ，k∈Z}＝{x{x≠2，k∈Z}. ?tan x＋1≥0，(2)由题意得??1－tan x>0， 即－1≤tan x<1. ?ππ?ππ在?－2，2?内，满足上述不等式的x的取值范围是－4，4. ??ππ????kπ－，kπ＋又y＝tan x的周期为π，所以所求函数的定义域是44??(k∈Z)． 答案：(1)D (2)见解析 (1)分母不等于0 (2)偶次根式被开方数大于等于0 (3)真数大于0 π(4)正切函数x≠kπ＋2，k∈Z 题型二 正切函数的单调性及其应用 π????－3x＋例2 求函数y＝tan4?的单调区间． ?π?π???【解析】 y＝tan?－3x＋4?＝－tan?3x－4?. ????ππππkππkπ由－2＋kπ<3x－4<2＋kπ(k∈Z)，得－12＋3 π??πkππkπ所以函数y＝tan?－3x＋4?的单调递减区间为（－12＋3，4＋3）??(k∈Z)． π???状元随笔 先利用诱导公式将函数转化为y＝－tan3x－4?，再??πππ由－2＋kπ<3x－4<2＋kπ(k∈Z)解出x即可. 方法归纳 (1)运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系． (2)求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 ①若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可ππ用“整体代换”的思想，令kπ－2<ωx＋φ
2019-2020学年新教材素养突破人教A版数学必修第一册(课件+讲义+课时作业)5.4.3
