初中数学竞赛专题——因式分解
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一， 它被广泛地应用于初等数学之中， 是我们解决许多数学问题的有力工具． 因式分解方法灵活， 技巧性强， 学习这些方法与技巧， 不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力， 都有着十分独特的作用． 初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、 运用公式法、 分组分解 法和十字相乘法． 本讲及下一讲在中学数学教材基础上， 对因式分解的方法、 技巧和应用作 进一步的介绍．
1．运用公式法
在整式的乘、除中， 我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用， 即为因式分解中常用 的公式，例如：
(1) a 2-b2=(a+b)(a -b) ； (2) a ± 2ab+b2=(a ± b) 2； (3) a +b =(a+b)(a -ab+b ) ； (4) a 3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2) ． 下面再补充几个常用的公式：
(5) a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) ；
(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b+c -ab-bc-ca) ；
(7) a n-bn=(a-b)(a n-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中 n 为正整数； (8) a n-bn=(a+b)(a n-1 -an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中 n 为偶数； (9) a n+bn=(a+b)(a n-1-an-2b+an-3b2—abn-2+bn-1)，其中 n 为奇数.
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰 当地选择公式．
例 1 分解因式： (1) -2x y +4x y -2x y ； (2) x 3-8y3-z3-6xyz ； (3) a +b +c -2bc+2ca-2ab； (4) a -ab +a b -b ．
解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)
=-2x y [(x n) -2x ny +(y ) ] =-2x y (x n-y )
n-1 n n n-1 n 2
2 2
n-1 n 2
2
2
2
2 2
7
52
25
7
222
5n-1 n 3n-1
n+2
n-1 n+4
3
3 3 2 2 2 2
2 2 2 3
3 2 2 2
2
2 2
=-2x y (x -y) (x +y) ．
(2) 原式 =x3+(-2y) 3+(-z) 3-3x( -2y)( -Z)
=(x -2y-z)(x +4y +z +2xy+xz-2yz) ．
(3) 原式 =(a 2-2ab+b2)+( -2bc+2ca)+c
22
2
2 2
2 n 2
1
2
=(a -b) +2c(a -b)+c =(a -b+c)
本小题可以稍加变形，直接使用公式
2
2 2
(5)，解法如下:
原式=a+(-b) +c +2(-b)c+2ca+2a( -b)
=(a-b+c)2
⑷原式=(a7-a5b2)+(a 2b5-b7)
、 .5/ 2 . 2、
=a (a -b )+b (a -b)
5/
2.2
=(a -b )(a +b)
=(a+b)(a -b)(a+b)(a -a b+a b -ab +b) =(a+b) 2(a-b)(a 4-a3b+a2b2-ab3+b4)
例2分解因式：a'+b+cSabc.
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式 分析我们已经知道公式
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
的正确性，现将此公式变形为
3 . 3 4
3
2 2
3
4
(6).
a +b=(a+b) -3ab(a+b).
3
这个.式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导.
, 3
3
解原式=(a+b) -3ab(a+b)+c -3abc
=[(a+b)3+c 3] -3ab(a+b+c) =(a+b+c)
[ (a+b) -c(a+b)+c ] -3ab(a+b+c)
2 2 2
2
2
=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca).
说明 公式(6)是一个应用极广的公式， 用它可以推出很多 有用的结论，例如：我们将公 式⑹变形为
a +b +c -3abc
=—:+匚〕(la- ■+ 2bJ +2^
3.3
3
--3 + 乜+“ I 1 a E\\1 b -c 1 J + FCF：：
显然，当 a+b+c=0 时，贝U a3+b3+c3=3abc;当 a+b+c>0 时，贝U a3+b3+c3-3abc>0,即 a3+b3+c3 > 3abc，而且，当且仅当 a=b=c时，等号成立. 如果令 x=a3> 0, y=b3> 0, z=c3> 0，则有
等号成立的充要条件是 x=y=z .这也是一个常用的结论. 例 3 分解因式： x15+x14+x13+…+x2+x+1.
2
分析 这个多项式的特点是：有 此想到应用公式an-bn来分解. 解因为
16
15
14
13
2
16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至 0,由
八
x -1=(x -1)(x +x +x + …x +x+1), 所以
廉兀 L ------------ : ---------- = ---- 7\
M -1
_ (S'
Z - J
解法 4 添加两项 -x2+x2． 原式 =x3-9x+8
=x -x +x -9x+8 =x(x - 1)+(x -8)(x -1) =(x -1)(x 2+x-8) ．
说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无 一定之规， 主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解 诸方法中技巧性最强的一种．
例 5 分解因式： (1) x 9+x6+x3-3；
22 3
2 2
2
2
(2) (m -1)(n -1)+4mn； (3) (x+1) 4+(x 2-1) 2+(x -1) 4； (4) a 3b-ab3+a2+b2+1． 解 (1) 将-3拆成 -1-1-1．
9 6 3 原式 =x +x +x -1-1-1
=(x -1)+(x 6-1)+(x 3-1)
=(x -1)(x 6+x3+1)+(x 3-1)(x 3+1)+(x 3-1) =(x -1)(x6+2x3+3)
=(x -1)(x 2+x+1)(x 6+2x3+3) ．
3
93
963
3 6 3 3 3 3
⑵将4mn拆成2mn+2mn
原式 =(m2-1)(n 2-1)+2mn+2mn
=mn -m-n +1+2mn+2mn =(mn +2mn+1)-(m -2mn+n)
=(mn+1) -(m-n) =(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．
22
2 2 2 2 2 2 2 2
⑶ 将(x2-1)2拆成 2(X2-1)2-(X2-1)2. 原式=(x+1) 4+2(x2-1) 2-(x 2-1)2+(x-1)4
=[(x+1) +2(x+1) (x-1)+(x-1)]-(x-1)
4
4
2
2
2
2
42
4
2
2 2
3
初中数学竞赛因式分解专题
