高考小题限时练3
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1．若集合A＝{x|x2－7x<0，x∈N*}，则B＝{y|∈N*，y∈A}中元素的个数为__________．
y答案 3
解析 ∵x2－7x<0，∴0 4 又∵B＝{y|∈N*，y∈A}，∴B＝{1,2,4}， y即B中的元素个数为3. 2．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a8＝13，S7＝35，则a8＝________. 答案 9 ??2a1＋9d＝13， 解析 设an＝a1＋(n－1)d，依题意? ??7a1＋21d＝35，??a1＝2， 解得?所以a8＝9. ??d＝1， 3．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示： 9 7 7 8 4 0 1 0 x 9 1 则7个剩余分数的方差为________． 答案 36 7 87＋94＋90＋91＋90＋90＋x＋911 解析 由题意知＝91，解得x＝4.所以s2＝[(87－91)2＋(94 77－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2] 136 ＝(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝. 77 4．“m＝1”是“直线x－y＝0和直线x＋my＝0互相垂直”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 充要 解析 因为当m＝1时，两直线分别是x－y＝0和x＋y＝0，两直线的斜率分别是1和－1.所 以两直线垂直，所以充分性成立；当直线x－y＝0和直线x＋my＝0互相垂直时，则1×1＋(－1)m＝0，所以m＝1，所以必要性成立． 5．如图，正四棱锥P—ABCD的底面一边AB长为23 cm，侧面积为83 cm2，则它的体积为________． 答案 4 解析 设侧面三角形的高为h， 1 则4××23h＝83，解之可得h＝2， 2故棱锥的高为H＝ 22－32＝1， 1 所以棱锥的体积为V＝×(23)2×1＝4. 31π 6．已知sin 2α＝，则cos2(α－)＝________. 342 答案 3 π 1＋cos?2α－? 2π 解析 ∵cos2(α－)＝ 42＝ 1＋sin 2απ2，∴cos2(α－)＝. 243 7．(2015·课标全国Ⅱ改编)下边流程图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该流程图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝______. 答案 2 解析 由题意知，若输入a＝14，b＝18，则 第一次执行循环结构时， 由a＜b知，a＝14，b＝b－a＝18－14＝4； 第二次执行循环结构时， 由a＞b知，a＝a－b＝14－4＝10，b＝4； 第三次执行循环结构时， 由a＞b知，a＝a－b＝10－4＝6，b＝4； 第四次执行循环结构时， 由a＞b知，a＝a－b＝6－4＝2，b＝4； 第五次执行循环结构时， 由a＜b知，a＝2，b＝b－a＝4－2＝2； 第六次执行循环结构时， 由a＝b知，输出a＝2，结束． 8．在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a＞0)，点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为________． 答案 3 解析 由题意得圆N与圆M内切或内含， 即MN≤ON－1?ON≥2，又ON≥OM－1， 所以OM≥3， a2＋?a－3?2≥3?a≥3或a≤0(舍)， 因此a的最小值为3. 9．(2016·北京改编)已知A(2,5)，B(4,1)，若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为________． 答案 7 5－1解析 线段AB的方程为y－1＝(x－4)，2≤x≤4. 2－4即2x＋y－9＝0,2≤x≤4，因为P(x，y)在线段AB上， 所以2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9. 又2≤x≤4，则－1≤4x－9≤7，故2x－y的最大值为7. π 10.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ) (ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分图象如图所 2π 示，则f()＝________. 24答案 3 3πππ 解析 由图象知，周期T＝2(－)＝， 882∴ω＝2，∴f(x)＝Atan(2x＋φ)． 3π 又∵(，0)是图象上的点， 8 3π3π ∴tan(2×＋φ)＝0?＋φ＝kπ (k∈Z)． 84πππ ∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝Atan(2x＋)． 244π 又∵图象过点(0,1)，∴1＝Atan ，A＝1. 4πππ ∴f(x)＝tan(2x＋)，f()＝tan ＝3. 4243 ππ 0，?，且sin2α－sin αcos α－2cos2α＝0，则tan?－α?＝________. 11．已知α∈??2??3?答案 8－53 11 解析 ∵sin2α－sin αcos α－2cos2α＝0，cos α≠0， ∴tan2α－tan α－2＝0. ∴tan α＝2或tan α＝－1， π 0，?，∴tan α＝2， ∵α∈??2?π tan －tan α3π －α?＝tan? ?3?π 1＋tan tan α 3＝ 1＋23 ?23－1??23＋1?8－538－53 ＝. 1112－1 ?3－2??23－1?3－2 ＝ ＝ x2y2 12．(2016·课标全国丙改编)已知O为坐标原点，F是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点， abA，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为________． 1答案 3 ?0，am??0，am? 解析 设M(－c，m)，则E??，OE的中点为D，则D?2?a－c??，又B，D，M三 ?a－c??? 点共线， mm1 所以－＝－，a＝3c，e＝. 32?a－c?a＋c 13．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________． 答案 (－∞，2ln 2－2] 解析 f′(x)＝ex－2，可得f′(x)＝0的根为x0＝ln 2. 当x 14．已知△PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA＝PD＝AB＝2，∠APD＝90°，若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于________． 答案 12π 解析 如图在Rt△PAD中，AD＝ 4＋4＝22，过△PAD的外心M作 垂直于平面PAD的直线l，过四边形ABCD的外心O作垂直于平面ABCD的直线m，两线交于点O，则点O为四棱锥P－ABCD的外接球球心，2R＝AC＝ 4＋8＝23(R为四棱锥P－ABCD外接球的半径)，即R＝3，∴四棱锥P －ABCD外接球的表面积S＝4πR2＝12π.
高考数学(文江苏专用)三轮：高考小题限时练3
