第一章 定解问题
§1 大体概念
1．数学物理方程：是指从物理问题中所导出的反映客观物理量在各个地址、各个时刻之间彼此制约的一些偏微分方程（有时也包括常微分方程和积分方程）
2．数学物理方程的分类
数学物理方程按其所代表的物理进程可分为如下三类： （1）描述振动和波动特征的波动方程 utt?a2?u?f
（2）反映输运进程的扩散（或热传导）方程 ut?D?u?f
（3）描述稳固进程或稳固状态的poisson方程 ?u??h
?2u?u?2?2?2其中 ??2?2?2 utt?2，ut?
?t?t?x?y?z而未知函数u(x, y, z, t)在三类方程中别离表示位移、浓度（或温度）和稳固现象特征；a和D表示波速和扩散（或热传导）系数；f和h是与源（汇）有关的已知函数，当f=0或h=0时，相应的方程称为齐次方程。
3．用数学物理方程研究问题的一般步骤
（1）导出或写出定解问题（它包括数学物理方程和定解条件两部份） （2）求解已导出或写出的定解问题
（3）对求得的解讨论其适应性（即解的存在性、惟一性、稳固性），并作出适当的物理解释
4．求解数学物理方程的方式
求解数学物理方程的方式大致能够分为如下几种：行波法（达朗贝尔法）；分离变量法；积分变换法；Green函数法；保角变换法；复变函数法；变分法；
数值方式
§2 数学物理方程的成立或推导
1．成立（或推导）数学物理方程的步骤 成立数学物理方程一般步骤
step1：从所研究的系统中任取一单元体，分析该单元体与临近单元体之间的彼此关系；
step2：按照有关的物理定律（如牛顿第二定律、能量守恒定律、奥—高定律等）；用算式表达那个作用；
step3：化简、整理即得所研究问题知足的数学物理方程。 2．成立（导出）方程时经常要用到的物理定律 （1）Newton第二定律：F=ma
（2）Fourier实验定律（即热传导定律），当物体内部存在温度差时会产生热量的流动。热流密度q（即单位时刻内流过单位横截面的热量），与温度的下降率成正比，即
q??K?u
其中，K为热传导系数，负号表示温度下降的方向，写成份量形式即： qx??K?u?u?u，qy??K，qz??K
?y?x?z（3）Newton冷却定律：物体内部冷却时放出的热量?K?u与物体与外界的温度差（u边?u0）成正比，其中u0为周围介质的温度。
（4）电荷守恒定律：电荷既不能创生，也不能消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一部份转移到另一部份。
（5）热量（质量）守恒定律：物体内部温度升高所需的热量（浓度增加所需要的质量），等于流入物体内部的净热量（质量）与物体内部源所产生的热量（质量）之和。
（6）Fick定律（扩散定理）：当物体内部浓度散布不均匀时，会引发物质的扩散运动。其离子流密度q（即单位时刻内流过单位截面积的离子数）与浓度的下降率成正比，即
q??D?u
其中：D为扩散系数，负号表示浓度减小的方向，写成份量形式即 qx??D?u?u?u，qy??D，qz??D
?y?x?z（7）Gauss定律：通过一个任意闭合曲面的电通量，等于那个闭曲面所包围的自由电荷的电量的
1倍，即 ??E?ds?s?dT ???1其中?是介电常数，?为体电荷密度。
（8）Jaule-Lens定律：电流通过纯电阻导体时放出的热量跟电流强度I的平方，导线的电阻R和通电时刻t成正比。即
Q?I2Rt
（9）基尔霍夫定律：
1）第必然律：汇合在节点的电流代数和为零（规定流入节点的电流为正，流出节点的电流为负），即?Ik?0。
i?1k2）沿任一闭合回路的电势增量的代数和为零（规定回路顺时针方向的电动势和电流都为正，反之为负），即
?Ik?1nkRk???i
i?1n（10）电磁感应定律：不论任何原因使通过回路面积的磁通量发生转变时，回路中产生的感应电动势与磁通量对时刻转变率的负值成正比，即
d? dt???N其中：N为感应回路串联线圈的匝数，此即法拉第电磁感应定律，由该定律可知，当闭合回路（或线圈）中的电流发生转变而引发自身回路的磁通量改变而产生的自感电动势为
???LdI dt其中，L为自感系数
（11）虎克定律：在弹性限度内，弹性体的弹力和弹性体的形变量成正比，即
第一章定解问题及方程导出例
