课下层级训练(三十五) 直接证明与间接证明
[A级 基础强化训练]
1．若实数a，b满足a＋b<0，则( ) A．a，b都小于0 B．a，b都大于0
C．a，b中至少有一个大于0 D．a，b中至少有一个小于0
D [假设a，b都不小于0，即a≥0，b≥0，则a＋b≥0，这与a＋b<0相矛盾，因此假设错误，即a，b中至少有一个小于0.]
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b－ac<3a”索的因应是( )
A．a－b>0 C．(a－b)(a－c)>0
C [由题意知b－ac<3a?b－ac<3a ?(a＋c)－ac<3a?a＋2ac＋c－ac－3a<0 ?－2a＋ac＋c<0?2a－ac－c>0 ?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.]
3．在△ABC中，sin Asin C B．直角三角形 D．不确定 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B．a－c>0 D．(a－b)(a－c)<0 C [由sin Asin C 以A＋C是锐角，从而B>，故△ABC必是钝角三角形．] 2 4．(2024·山西太原月考)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( ) A．恒为负值 C．恒为正值 B．恒等于零 D．无法确定正负 A [由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1) 5．设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋( ) A．都大于2 C．至少有一个不小于2 B．至少有一个大于2 D．至少有一个不大于2 yyzzxxxzxyzy ??????C [因为＋＋＋＋＋＝?＋?＋?＋?＋?＋?≥2＋2＋2＝6，故＋，＋， xx＋中至少有一个不小于2.] zy6．用反证法证明“若x－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设__________. 2 zxyzyyzzxxyxxzxyzy?xy??xz??zy? yyzzxzxyx≠－1且x≠1 [“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．] 7．(2024·山东烟台月考)设a>b>0，m＝a－b，n＝a－b，则m，n的大小关系是__________. m 法二：(分析法)a－b 8．已知点An(n，an)为函数y＝x＋1图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为__________. * 2 b＋a－b>a?a cn＋1＜cn [由条件得cn＝an－bn＝n2＋1－n＝cn＋1＜cn.] 1 n2＋1＋n，∴cn随n的增大而减小，∴ ?1??1??1?9．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：?－1??－1??－1?>8. ?x??y??z? 证明 因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1， 11－xy＋z2yz所以－1＝＝>，① xxxx1 y1 1－yx＋z2xz－1＝＝>，② yzyzyzz1－zx＋y2xy－1＝＝>，③ 又x，y，z为正数，由①×②×③， ?1??1??1?得?－1??－1??－1?>8. ?x??y??z3 ? [B级 能力提升训练] 10．①已知p＋q＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1. 以下正确的是( ) A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确 C．①的假设正确；②的假设错误 D．①的假设错误；②的假设正确 2 3 D [反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确．] 21m11．已知a>0，b>0，如果不等式＋≥恒成立，那么m的最大值等于( ) ab2a＋bA．10 C．8 B．9 D．7 ?21??ba?B [∵a>0，b>0，∴2a＋b>0. ∴不等式可化为m≤?＋?(2a＋b)＝5＋2?＋?.∵5＋ ?ab? ?ab? ??2?＋?≥5＋4＝9，即其最小值为9，∴m≤9，即m的最大值等于9.] ab? ? 12．若二次函数f(x)＝4x－2(p－2)x－2p－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围是__________. 2 2 ba?－3，3? [若二次函数f(x)≤0在区间[－1,1]内恒成立， ?2??? ?f?则???f－1＝－2p＋p＋1≤0，1＝－2p－3p＋9≤0， 2 2 3 解得p≤－3或p≥， 2 3??故满足题干要求的p的取值范围为?－3，?.] 2?? 13．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，有下列命题： ①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β. 其中正确命题的序号是__________. ①③ [① l⊥α?? ??l⊥β，又∵m?β，∴l⊥m，①正确；②α∥β?? l⊥α?? ??l∥β或α⊥β?? l?β，∴l，m平行、相交、异面都有可能，故②错误；③ l∥m?? ??m⊥α，又m?β，l⊥α?? ∴β⊥α，故③正确；④故④错误．] l⊥α??l⊥m?? ??m?α或m∥α. 又m?β，∴α，β可能相交或平行， 1213 14．(2024·安徽阜阳质检)已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x＋x，函数y23＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线． (1)求a，b； (2)证明：f(x)≤g(x)． 12 (1)解 f′(x)＝，g′(x)＝b－x＋x， 1＋x ??g0＝f0， 由题意得? ?f′0＝g′0? ， 解得a＝0，b＝1. 1312 (2)证明 令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x＋1)－x＋x－x(x>－1)． 321－x2 h′(x)＝－x＋x－1＝. x＋1x＋1 3 h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x)． 15．(2024·海南海口调研)已知函数f(x)＝a＋ xx－2 (a>1)． x＋1 (1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根． (1)证明 任取x1，x2∈(－1，＋∞)， 不妨设x1 x2－2x1－2x2－2 －＝x2＋1x1＋1x1＋1－x1－2x1＋1x2＋1 x2＋1 3x2－x1x2－2x1－2 >0.于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，故函数f(x) x1＋1x2＋1x2＋1x1＋1 在(－1，＋∞)上为增函数． (2)假设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0， 则ax0＝－ x0－2 . x0＋1 x0－2 <1， x0＋1 ∵a>1，∴0 1 即
2024高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 课下层级训练35 直接与间接证明(含解析)文 人教A版
