习题1—7
1．指出下列各函数的间断点以及所属的类型。如果是可去间断点，则重新定义函数值使函数在该点连续
x2-1（1）y?2
x-3x?2解：x-3x?2?0?x?1，x?2
2x2-1x?1limy?lim2?lim??2，limy不存在 x?1x?1x-3x?2x?1x-2x?2所以x?1，是函数的第一类间断点，且是可去间断点 定义当x?1，y?-2可使函数在x?1 点连续。
x?2是函数的第二类间断点
（2）y?x 2x?x?2?x2?x?2?0?x?1，limy不存在，所以x?1是函数的第二类间断点 解：?x?1?x?01-x2nx （3）y?limn??1?x2n1-x2n解：x?1时，y?limn??1?x2n1?12nx?limxx??x
n??1?12nx1-x2nx?0 x?1时，y?limn??1?x2n1-x2nx?x x?1时，y?limn??1?x2nx?1?0limy?-1，limy?1，yx?1?0，所以x?1是函数的第一类间断点
x?1?0x??1?0limy?-1，limy?1，yx??1?0，所以x??1是函数的第一类间断点
x??1?0（4）y?(1?1x)x
解：limy?lim(1?x)x?0x?01x1?e，x?0时，无意义，y?(1?x)x无意义，所以x?0是函数的
x1第一类间断点。
定义x?0时，y?e可使函数在x?0处连续 2．写出函数在点x0连续的ε—δ定义。
解：设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，???0，???0，?x：x-x0??，使
f(x)-f(x0)??成立，则f(x)在点x0处连续
3．（1）函数f(x)在点x0连续，而函数g(x)在点x0不连续，问此两函数之和在点x0是否连续？
那么此两函数的积呢？
（2）在点x0，f(x)与g(x)都不连续，则两函数的积是否必不连续？ 解：（1）①f(x)?g(x)在x0处不连续
证明：设f(x)?g(x)在x0处连续，则???0，??1?0，?x：x-x0??1，
f(x)?g(x)-f(x0)?g(x0)??/2
??/2?f(x)?g(x)-f(x0)?g(x0)??/2
??/2?[f(x)-f(x0)]?g(x)?g(x0)??/2?[f(x)-f(x0)]
由于f(x)在x0处连续，所以???0，??2?0，?x：x-x0??2，
f(x)-f(x0)??/2，
??/2?f(x)-f(x0)??/2
g(x)?g(x0)??/2?[f(x)-f(x0)]??/2?[??/2]?? g(x)?g(x0)???/2?[f(x)-f(x0)]???/2??/2???
故： g(x)?g(x0)??
所以???0，???min{?1,?2}，?x：x-x0??，使g(x)?g(x0)??成立。
与g(x)在点x0不连续矛盾，所以f(x)?g(x)在x0处不连续
②f(x)?g(x)在x0处可能连续
?2x2,x?0?2x,x?0??x?0，f(x)?g(x)??0,x?0 例：f(x)?x，g(x)??3,?-2x,x?0?2??-2x,x?0在x=0处f(x)连续，g(x)不连续，但f(x)?g(x)连续
（2）不一定
?2x?x2,x?0?x,x?0?2?x,x?0???x?0，g(x)??0,x?0，f(x)?g(x)??0,x?0例：f(x)??1, ?-x,x?0?2-x,x?0?2???-2x?x,x?0在x=0处f(x)不连续，g(x)不连续，但f(x)?g(x)连续
1?α?xsin，4．确定常数α、β，使f(x)??x??β，解：limf(x)?limx?x?0x?0在点x=0连续。
1，所以要使limf(x)存在，必须使??0，此时
x?0x?0x?0x1?limf(x)?limxsin?0 x?0x?0xsinf(0)???0
5．设?x，y?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，且f(x)在点x=0连续，则?x?R，f(x) 连续
解：f(x?0)?f(x)?f(0)，f(x)?f(x)?f(0)，f(0)?0
f(x)在点x=0连续，故limf(x)?f(0)?0
x?0?x?0lim[f(x??x)-f(x)]?lim[f(x)?f(?x)-f(x)]?limf(?x)?f(0)?0
?x?0?x?0?x?0limf(x??x)?f(x)
故?x?R，f(x) 连续
6．若f(x)在区间I上连续，试证f(x)在I上连续。
解：f(x)在区间I上连续
故：?x0?I，???0，???0，?x：?x：x-x0??，f(x)-f(x0)??。
f(x)-f(x0)?f(x)-f(x0)
故：?x0?I，???0，???0，?x：?x：x-x0??，f(x)-f(x0)?? 故：f(x)在区间I上连续
习题1—8
1．写出当x?0时，下列无穷小量的等价无穷小 （1）arcsinx
解：y?arcsinx，x?0，y?0
而y?0时，y与siny是等价无穷小
y?arcsinx，siny?x
所以x?0时，与arcsinx等价无穷小的是x （2）2x?x
322解：2x?x?x(2x?1)
322x3?x2?1 limx?0，lim(2x?1)?1，lim2x?0x?0x?0x2所以x?0时，与2x?x等价无穷小的是x （3）1?2sinx?1 解：1?2sinx?1?3222sinx1?2sinx?1?1
x?0lim21?2sinx?1所以找1?2sinx?1的等价无穷小，只要找sinx的等价无穷小， 而与sinx等价无穷小的是x，所以与1?2sinx?1等价无穷小的是x
2．找出下列运算中的错误 （1）limsinx-tanxx-x?lim?0 33x?0x?0xx解：应将分子作为一个整体，用其无穷小代替，而不是将分子的各项用其无穷小代替
正确解法：
?2x??2x?sinx2sin???2sin?1cosx-12??????2??sinx-tanx?sinx?1- ??sinx???sinx?cosx?cosx??cosx??cosx?????x??xxsinx?2sin2?2sin22()2sinx-tanxsinx2??2?limxlim2?1 lim?lim?limlimx?0x?0x?0xx?0x?0xx?0x22x3x3x2sinmx（m，k为自然数）
x??sinkxmxm解 原式=lim?
x??kxk解：x??时，mx和kx不是无穷小，所以分子分母不能用mx和kx代替
（2）limm?1sinm(??x)和sinkx?(?1)k?1sink(??x) 正确解法：sinmx?(?1) limsinmxsinm(??x)m(??x)m?(?1)m?klim?(?1)m?klim?(?1)m?k
x??sinkxx??sink(??xx??k(??x))k3．证明β与α是等价无穷小的充要条件为
????o(?)
证明：充分条件：????o(?)?lim所以?~?
必要条件：lim???o(?)o(?)?o(?)??lim?lim?1??1 ??1?limx???x??x??x??????????1??1??(x)???????(x)，其中?(x)是一个无穷小量
x??????(x)lim?lim?(x)?0???(x)?o(?) x??x???所以????o(?)
4．求下列极限
西南交大高数上册第一至第三章习题解答
