第2章 4
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝φμ，σ(x)1－＝e
8π
x－108
2
，则这个正态总体平均数与标准差分别是( )
B．10与2 D．2与10
A．10与8 C．8与10
解析： 由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.
答案： B
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)．若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )
A．0.477 C．0.954
B．0.628 D．0.977
解析： 因为随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)， 所以正态曲线关于直线x＝0对称， 又P(ξ＞2)＝0.023， 所以P(ξ＜－2)＝0.023，
所以P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ＞2)－P(ξ＜－2)＝1－2×0.023＝0.954，故选C.
答案： C
3．正态总体N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为( )
A．P1＝P2 C．P1＞P2
B．P1＜P2 D．不确定
解析： 根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等．
答案： A
4．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ＞1)＝p，则P(－1＜ξ＜0)＝( )
1
A.＋p 2C．1－2p
B．1－p 1D.－p 2
111
解析： P(－1＜ξ＜0)＝P(－1＜ξ＜1)＝[1－2P(ξ＞1)]＝－P(ξ＞1)
2221
＝－p. 2
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分) 1
5．关于正态曲线φμ，σ(x)＝e－
2πσ命题：
①正态曲线关于直线x＝μ对称； ②正态曲线关于直线x＝σ对称； ③正态曲线与x轴一定不相交； ④正态曲线与x轴一定相交； ⑤正态曲线所代表的函数是偶函数；
⑥曲线对称轴由μ确定，曲线的形状由σ决定；
⑦当μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”． 其中正确的是________．(填序号)
解析： 根据正态分布曲线的性质可得，由于正态曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处于最高点并由该点向左、右两边无限延伸时逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x轴的上方，曲线形状由σ决定，而且当μ一定时，比较若干个不同的σ对应的正态曲线，可以发现σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．故①③⑥⑦正确．
x－μ2σ2
2
，x∈(－∞，＋∞)有以下
答案： ①③⑥⑦
6．某种零件的尺寸X(cm)服从正态分布N(3,1)，则不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数的________．
解析： 属于区间(μ－2σ，μ＋2σ)即区间(1,5)的取值概率约为95.4%，故不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数的1－95.44%＝4.56%.
答案： 4.56%
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．据调查统计，某市高二学生中男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(174,9)，若该市共有高二男生3 000人，试计算该市高二男生身高在(174,180]范围内的人数．
解析： 因为身高X～N(174,9)， 所以μ＝174，σ＝3，
所以μ－2σ＝174－2×3＝168， μ＋2σ＝174＋2×3＝180，
所以身高在(168,180]范围内的概率为0.954 4.
又因为μ＝174.所以身高在(168,174]和(174,180]范围内的概率相等均为0.477 2，
故该市高二男生身高在(174,180]范围内的人数是3 000×0.477 2≈1 432(人)．
8．灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为X(单位：小时)，已知X～N(1 000,302)，要使灯泡的平均寿命为1 000小时的概率约为99.7%，问灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？
解析： 因为灯泡的使用寿命X～N(1 000,302)， 故X在(1 000－3×30,1 000＋3×30)的概率为99.7%， 即X在(910,1 090)内取值的概率约为99.7%， 故灯泡的最低使用寿命应控制在910小时以上． 尖子生题库
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9．(10分)已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，某密度函数图象如图所示．
(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；
(2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500之间的人数百分比． 解析： 设农民工年均收入ξ～N(μ，σ2)， 结合图象可知μ＝8 000，σ＝500.
(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式 1
P(x)＝e－
2πσ＝
15002π
e－
x－μ2σ2
2
2
x－8 0002×5002
，x∈(－∞，＋∞)．
(2)∵P(7 500＜ξ≤8 500) ＝P(8 000－500＜ξ≤8 000＋500) ＝0.682 6.
∴P(8 000＜ξ≤8 500) 1
＝P(7 500＜ξ≤8 500) 2＝0.341 3.
∴此地农民工年均收入在8 000～8 500之间的人数百分比为34.13%.
2020高中数学 2-4课后练习同步导学 新人教A版选修2-3
