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1.4.2 微积分基本定理(一)
明目标、知重点 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分． 1．微积分基本定理
如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则?其中F(x)叫做f(x)af(x)dx＝F(b)－F(a)，的一个原函数．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则 (1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则?af(x)dx＝S上． (2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则?af(x)dx＝－S下．
(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则?af(x)dx＝S上－S下，若
bS上＝S下，则?af(x)dx＝0.
bbbb[情境导学]
从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x非常简单，但直接用定积分的定义计算?0xdx的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系？我们能否利用这种联系求定积分？
探究点一 微积分基本定理
思考1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，
13
3
b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？
答 由物体的运动规律是y＝y(t)知：s＝y(b)－y(a)， 通过求定积分的几何意义，可得s＝?av(t)dt＝?ay′(t)dt， 所以?av(t)dt＝?ay′(t)dt＝y(b)－y(a)．其中v(t)＝y′(t)．
小结 (1)如果f(x)在区间[a，b]上可积，且F′(x)＝f(x)，则?af(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理．
(2)运用微积分基本定理求定积分?其关键是准确写出满足F′(x)＝f(x)的af(x)dx很方便，
bbbbbbF(x)．
思考2 对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？
答 不唯一，根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数c，[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x)．
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不影响，因为?af(x)dx＝[F(b)＋c]－[F(a)＋c]＝F(b)－F(a)． 例1 计算下列定积分：
12130x(1)?1dx；(2)?1(2x－2)dx；(3)?－π(cos x－e)dx.
bxx1解 (1)因为(ln x)′＝，
x212
所以?1dx＝ln x|1＝ln 2－ln 1＝ln 2.
x112
(2)因为(x)′＝2x，()′＝－2，
xx13331
所以?1(2x－2)dx＝?12xdx－?12dx
xx1312223
＝x|1＋|1＝(9－1)＋(－1)＝.
x33(3)?－π(cos x－e)dx＝?－πcos xdx－?－πedx 10x0
＝sin x|－π－e|－π＝π－1.
e
反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：
(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；
(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限． 跟踪训练1 计算下列定积分： (1)?2(x－1)dx；
5
0
x00x?1
(3)?2
?1x1
dx. x＋1
解 (1)因为?
?1x－1?6
5
6
?′＝(x－1)5， ??
x－1
6
所以?2(x－1)dx＝
?1
16
?2 ?1?
11166
＝×(2－1)－×(1－1)＝. 666
?14?3
(2)因为?sinx?′＝sinxcos x，
?4?
所以
??sinxcosx?dx＝ ?4
?203?2?1sin4x??0 ???
??
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1114π4
＝sin－sin0＝. 4244(3)令f(x)＝
111
＝－，
xx＋1xx＋1
取F(x)＝ln x－ln(x＋1)＝ln 11
则F′(x)＝－.
xx＋1所以?2
xx＋1
，
?1xln
111
dx＝?2(－)dx x＋1?xx＋1
1
1＝ln . x＋1?3?
＝
x?2
4
探究点二 分段函数的定积分
??例2 已知函数f(x)＝?π
1，≤x≤2，
2??x－1，2≤x≤4.
[0,4]上的定积分． 解 图象如图．
ππ
＝1＋(2－)＋(4－0)＝7－. 22
π
sin x，0≤x≤，2
先画出函数图象，再求这个函数在
反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．
??x， x≤0，跟踪训练2 设f(x)＝?
?cos x－1， x>0，?
2
求?－1f(x)dx.
解 ?－1f(x)dx＝?－1xdx＋?0(cos x－1)dx 13021
＝x|－1＋(sin x－x)|0＝sin 1－. 33探究点三 定积分的应用 例3 计算下列定积分：
?0sin xdx，?πsin xdx，?0sin xdx.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．
解 因为(－cos x)′＝sin x， 所以?0sin xdx＝(－cos x)|0
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π
π
π
2π
2π
1
0
2
1
1
2020版高中数学第一章导数及其应用1_4_2微积分基本定理一学案新人教B版选修2_2
