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1.4.2 微积分基本定理(一)
明目标、知重点 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分. 1.微积分基本定理
如果F′(x)=f(x),且f(x)在[a,b]上可积,则?其中F(x)叫做f(x)af(x)dx=F(b)-F(a),的一个原函数.
2.定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上,x轴下方的面积为S下,则 (1)当曲边梯形的面积在x轴上方时,如图(1),则?af(x)dx=S上. (2)当曲边梯形的面积在x轴下方时,如图(2),则?af(x)dx=-S下.
(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时,如图(3),则?af(x)dx=S上-S下,若
bS上=S下,则?af(x)dx=0.
bbbb[情境导学]
从前面的学习中可以发现,虽然被积函数f(x)=x非常简单,但直接用定积分的定义计算?0xdx的值却比较麻烦.有没有更加简便、有效的方法求定积分?另外,我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分,这两个概念之间有没有内在的联系?我们能否利用这种联系求定积分?
探究点一 微积分基本定理
思考1 如下图,一个做变速直线运动的物体的运动规律是y=y(t),并且y(t)有连续的导数,由导数的概念可知,它在任意时刻t的速度v(t)=y′(t).设这个物体在时间段[a,
13
3
b]内的位移为s,你能分别用y(t),v(t)表示s吗?
答 由物体的运动规律是y=y(t)知:s=y(b)-y(a), 通过求定积分的几何意义,可得s=?av(t)dt=?ay′(t)dt, 所以?av(t)dt=?ay′(t)dt=y(b)-y(a).其中v(t)=y′(t).
小结 (1)如果f(x)在区间[a,b]上可积,且F′(x)=f(x),则?af(x)dx=F(b)-F(a).这个结论叫做微积分基本定理.
(2)运用微积分基本定理求定积分?其关键是准确写出满足F′(x)=f(x)的af(x)dx很方便,
bbbbbbF(x).
思考2 对一个连续函数f(x)来说,是否存在唯一的F(x),使F′(x)=f(x)?若不唯一,会影响微积分基本定理的唯一性吗?
答 不唯一,根据导数的性质,若F′(x)=f(x),则对任意实数c,[F(x)+c]′=F′(x)+c′=f(x).
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不影响,因为?af(x)dx=[F(b)+c]-[F(a)+c]=F(b)-F(a). 例1 计算下列定积分:
12130x(1)?1dx;(2)?1(2x-2)dx;(3)?-π(cos x-e)dx.
bxx1解 (1)因为(ln x)′=,
x212
所以?1dx=ln x|1=ln 2-ln 1=ln 2.
x112
(2)因为(x)′=2x,()′=-2,
xx13331
所以?1(2x-2)dx=?12xdx-?12dx
xx1312223
=x|1+|1=(9-1)+(-1)=.
x33(3)?-π(cos x-e)dx=?-πcos xdx-?-πedx 10x0
=sin x|-π-e|-π=π-1.
e
反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点:
(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则,正确求解被积函数的原函数,当原函数不易求时,可将被积函数适当变形后再求解;
(2)精确定位积分区间,分清积分下限与积分上限. 跟踪训练1 计算下列定积分: (1)?2(x-1)dx;
5
0
x00x?1
(3)?2
?1x1
dx. x+1
解 (1)因为?
?1x-1?6
5
6
?′=(x-1)5, ??
x-1
6
所以?2(x-1)dx=
?1
16
?2 ?1?
11166
=×(2-1)-×(1-1)=. 666
?14?3
(2)因为?sinx?′=sinxcos x,
?4?
所以
??sinxcosx?dx= ?4
?203?2?1sin4x??0 ???
??
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1114π4
=sin-sin0=. 4244(3)令f(x)=
111
=-,
xx+1xx+1
取F(x)=ln x-ln(x+1)=ln 11
则F′(x)=-.
xx+1所以?2
xx+1
,
?1xln
111
dx=?2(-)dx x+1?xx+1
1
1=ln . x+1?3?
=
x?2
4
探究点二 分段函数的定积分
??例2 已知函数f(x)=?π
1,≤x≤2,
2??x-1,2≤x≤4.
[0,4]上的定积分. 解 图象如图.
ππ
=1+(2-)+(4-0)=7-. 22
π
sin x,0≤x≤,2
先画出函数图象,再求这个函数在
反思与感悟 求分段函数的定积分,分段标准是使每一段上的函数表达式确定,按照原分段函数的分段情况即可;对于含绝对值的函数,可转化为分段函数.
??x, x≤0,跟踪训练2 设f(x)=?
?cos x-1, x>0,?
2
求?-1f(x)dx.
解 ?-1f(x)dx=?-1xdx+?0(cos x-1)dx 13021
=x|-1+(sin x-x)|0=sin 1-. 33探究点三 定积分的应用 例3 计算下列定积分:
?0sin xdx,?πsin xdx,?0sin xdx.由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.
解 因为(-cos x)′=sin x, 所以?0sin xdx=(-cos x)|0
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π
π
π
2π
2π
1
0
2
1
1
2020版高中数学第一章导数及其应用1_4_2微积分基本定理一学案新人教B版选修2_2
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