黑龙江省安达市田家炳高级中学2021年高考数学平面向量多选题与热点解答
题组合练及解析
一、平面向量多选题
1．已知向量m?2cosx,3，n??1, sin2x?，设函数f?x??m?n，则下列关于函数
2??y?f?x?的性质的描述正确的是 （ ）
A．f?x?的最大值为3
B．f?x?的周期为? D．f?x?在???5??,0?对称 fxC．??的图象关于点??12?【答案】ABD 【分析】
???,0?上是增函数 ?3?运用数量积公式及三角恒等变换化简函数f?x?，根据性质判断. 【详解】
解：f?x??m?n?2cosx?3sin2x?cos2x?3sin2x?1?2sin?2x?2??????1， 6?当x??6?k?，?k?Z?时，f?x?的最大值为3，选项A描述准确；
2???,选项B描述准确； 2f?x?的周期T?当x???5???5??,1?对称，选项C描时，2sin?2x???1?1，所以f?x?的图象关于点?6?12??12????????????,0?时，2x????,?，所以f?x?在??,0?上是增函数，选项D描
6?26??3??3?述不准确； 当x???述准确. 故选：ABD. 【点睛】
本题考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题.
2．设点A，B的坐标分别为?0,1?，?1,0?，P，Q分别是曲线y?ex和y?lnx上的动点，记I1?AQ?AB,I2?BP?BA，则下列命题不正确的是（ ） A．若I1?I2，则PQ??AB(??R) C．若PQ??AB(??R)，则I1?I2 【答案】ABD 【分析】
作出两个函数的图象，利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义分析
B．若I1?I2，则AP?BQ D．若AP?BQ，则I1?I2
可得答案. 【详解】
根据题意，在直线AB上取点P,Q，且满足|AP?|?|BQ?|，过P,Q分别作直线AB的
????y?lnx于Q1,Q2，在曲线y?ex上取点P3，使垂线，交曲线y?ex于P1，P2，交曲线
|AP1|?|AP3|，如图所示：
I1?AQ?AB?|AQ|?|AB|cos?QAB，令|AQ|cos?QAB?|AQ?|，则I1?|AQ?|?|AB|，
I2?BP?BA?|BP|?|BA|cos?PBA，令|BP|cos?PBA?|BP?|，则I2?|BP?|?|BA|，
若|AP?|?|BQ?|，则|AQ?|?|BP?|，
QQ若I1?I2，则|AQ?|?|BP?|即可，此时P可以与P1重合，与2重合，满足题意，
但是PQ??AB(??R)不成立，且|AP|?|BQ|，所以A、B不正确；
QQ对于选项C，若PQ??AB，此时P与P1重合，且与Q1重合，或P与P2重合，且
与Q2重合，所以满足I1?I2，所以C正确；
对于D，当P与P3重合时，满足|AP1|?|AP3|，但此时P3在直线AB上的投影不在P?处，因而不满足|AQ?|?|BP?|，即I1?I2，所以D不正确. 故选：ABD 【点睛】
关键点点睛：利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义求解是解题关键.
3．在ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，AE与BD交于O，且
AB?BC?BC?CA?CA?AB，AB?AC?2AE，CD?2DA，AB?1，则（ ）
A．AC?BD?0 C．OA?OB?OC?【答案】BCD 【分析】
B．OA?OE?0
3 4D．ED在BA方向上的正射影的数量为
7 12根据AB?BC?BC?CA?CA?AB以及正弦定理得到sinC?cosB?sinB?cosC，从而求出B?C，进一步得到B?C?A，ABC等边三角形，根据题目条件可以得到E为BC的中点和D为AC的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项. 【详解】
由AB?BC?BC?CA?CA?AB得AB?BCcosB?CA?BCcosC，
|AB|?cosB?|CA|?cosC，正弦定理，sinC?cosB?sinB?cosC，0?sin?B?C?，
B?C，
同理：A?C，所以B?C?A，ABC等边三角形.
AB?AC?2AE，E为BC的中点，CD?2DA，D为AC的三等分点.
??13??3?3??1??1??,0?，C?,0?，D?,如图建立坐标系，A??0,2??，B??63??，解得O??0,4??， 22??????????O为AE的中点，所以，OA?OE?0正确，故B正确；
?1?23?3?12331AC??,?,BD?,，??????=??0，故A错误； AC?BD??2??33?223236????OA?OB?OC?OA?2OE?OE?3，故C正确； 4?13??13?ED?BA7BA?,ED??,?，故D正确. ，，投影????63??22?12|BA|????故选：BCD. 【点睛】
黑龙江省安达市田家炳高级中学2021年高考数学平面向量多选题与热点解答题组合练及解析
